《2025年能力素养与学力提升八年级数学上册人教版》

1. 完全平方公式：(1)$(a + b)^2 = $$a^{2}+2ab+b^{2}$；(2)$(a - b)^2 = $$a^{2}-2ab+b^{2}$。
即：两数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍。
2. 完全平方公式的结构特征：
公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项,其中有两项是左边二项式中每一项的平方,而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。
3. 几何解释：
由图①可以看出大正方形的边长是$a+b$,它是由两个小正方形和两个长方形组成的,所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和。用式子表示为：$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$。

观察图②,利用面积关系可得：$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$。

答案： 1.（1）$a^{2}+2ab+b^{2}$；（2）$a^{2}-2ab+b^{2}$。即：两数的和（或差）的平方,等于它们的平方和,加上（或减去）它们的积的2倍。2. 公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项,其中有两项是左边二项式中每一项的平方,而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。3. 由图①可以看出大正方形的边长是$a+b$,它是由两个小正方形和两个长方形组成的,所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和。用式子表示为：$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$。观察图②,利用面积关系可得：$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$。

1. (1)已知$x + y = 7$,$xy = 5$,则$x^2 + y^2$的值为39。
(2)已知$(x + y)^2 = 49$,$x^2 + y^2 = 27$,则$(x - y)^2$的值为5。
(3)已知$x满足(x - 2022)^2 + (2024 - x)^2 = 12$,则$(x - 2023)^2$的值为5。

答案： 1.（1）39 （2）5 （3）5

2. 如果$36a^2 - mab + 9b^2$能运用完全平方式,那么$m$为$\pm 36$。

答案： $\pm 36$

3. 计算$\left(-\frac{1}{2}m + 1\right)^2$的结果为(B)
A.$-\frac{1}{4}m^2 + 1$
B.$\frac{1}{4}m^2 - m + 1$
C.$\frac{1}{4}m^2 + 1$
D.$\frac{1}{4}m^2 + m + 1$

答案： B

4. 下列多项式是完全平方式的是(A)
A.$a^2 - 4a + 4$
B.$1 + 4a^2$
C.$4b^2 + 4b - 1$
D.$a^2 + ab + b^2$

答案： A

5. 计算：
(1)$\left(-2a - \frac{1}{2}b\right)^2$；
(2)$(x - \sqrt{2}y)^2$；
(3)$(x + 2y)^2(x - 2y)^2 - (2x + y)^2(2x - y)^2$；
(4)$(2a - b)^2 - 2b^2$。

答案： （1）$4a^{2}+2ab+\frac{1}{4}b^{2}$；（2）$x^{2}-2\sqrt{2}xy+2y^{2}$；（3）$-15x^{4}+15y^{4}$；（4）$4a^{2}-4ab-b^{2}$