《2025年能力素养与学力提升八年级数学上册人教版》

5. 如图,在$\triangle ABC$中,已知$AB = AC$,$AD平分\angle BAC$,点$M$,$N分别在边AB$,$AC$上,$AM = 2MB$,$AN = 2NC$. 求证：$DM = DN$.

答案： $\because AM=2MB$，$\therefore AM=\frac{2}{3}AB$.同理，$AN=$$\frac{2}{3}AC$.又$\because AB=AC$，$\therefore AM=AN$.$\because AD$平分$\angle BAC$，$\therefore\angle MAD=\angle NAD$.在$\triangle AMD$和$\triangle AND$中，$\begin{cases} AM=AN, \\ \angle MAD=\angle NAD, \\ AD=AD, \end{cases}$$\therefore\triangle AMD\cong\triangle AND(SAS)$.$\therefore DM=DN$.

1. 如图,$AB = AC$,$AD = AE$,$\angle BAC= \angle DAE$,下列结论不一定正确的是(C)

A.$\angle BAD= \angle CAE$
B.$\triangle ABD\cong\triangle ACE$
C.$AB = BC$
D.$BD = CE$

答案： C

2. 如图,$AB = AD$,$AC = AE$,欲证$\triangle ABC\cong\triangle ADE$,需增加的一个条件是(B)

A.$\angle B= \angle D$
B.$\angle BAD= \angle EAC$
C.$\angle E= \angle C$
D.$\angle BAC= \angle EAC$

答案： B

3. 如图,$\angle A= \angle B$,$AB = 60$,$E$,$F分别为线段AB和射线BD$上的点,点$E从点B出发向点A$运动,同时点$F从点B出发沿射线BD$运动,二者速度之比为$2:3$,当点$E运动到点A$时,两点同时停止运动. 在射线$AC上取一点G$,使$\triangle AEG与\triangle BEF$全等,则$AG$的长为24或45.

答案： 24或45

4. 如图,$AD是\triangle ABC$的中线,在$AD及其延长线上截取DE = DF$,连接$CE$,$BF$. 试判断：$\triangle BDF与\triangle CDE$全等吗？$BF与CE$有何位置关系？并说明理由.

答案： $\triangle BDF\cong\triangle CDE$，$BF// CE$，理由如下：$\because AD$是$\triangle ABC$的中线，$\therefore BD=DC$.在$\triangle BDF$和$\triangle CDE$中，$\begin{cases} BD=CD, \\ \angle BDF=\angle CDE, \\ DF=DE, \end{cases}$$\therefore\triangle BDF\cong\triangle CDE(SAS)$.$\therefore\angle F=$$\angle DEC$.$\therefore BF// CE$.