《2025年能力素养与学力提升八年级数学上册人教版》

5. 如图,已知在$\triangle ABC$中,$AC = BC = AD$,$\angle CDE = \angle B$. 求证：$\triangle CDE$是等腰三角形.

答案：
∵∠ADE+∠CDE+∠BDC=180°,∠BCD+∠B+∠BDC=180°,∠CDE=∠B,
∴∠ADE=∠BCD.
∵AC=BC,
∴∠A=∠B.在△ADE和△BCD 中,$\left\{\begin{array}{l} ∠A=∠B,\\ AD=BC,\\ ∠ADE=∠BCD,\end{array}\right. $
∴△ADE≌△BCD(ASA).
∴DE=CD.
∴△CDE 是等腰三角形.

6. 已知在$\triangle ABC$中,$\angle A = 90^{\circ}$,$AB = AC$,$D为BC$的中点.
(1)如图①,若$E$,$F分别为AB$,$AC$上的点,且$DE\perp DF$. 求证：$BE = AF$.
(2)若$E$,$F分别为AB$,$CA$延长线上的点,且$DE\perp DF$,则$BE = AF$还成立吗？请利用图②说明理由.

答案： 1. （1）证明：
连接$AD$。
因为$\angle A = 90^{\circ}$，$AB = AC$，$D$为$BC$中点，所以$AD = BD = CD$，$\angle B=\angle CAD = 45^{\circ}$，$AD\perp BC$。
又因为$DE\perp DF$，所以$\angle EDF=\angle ADC = 90^{\circ}$。
则$\angle EDF-\angle ADF=\angle ADC - \angle ADF$，即$\angle ADE=\angle CDF$。
在$\triangle BDE$和$\triangle ADF$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle B=\angle DAF\\BD = AD\\\angle BDE=\angle ADF\end{array}\right.$（$\angle BDE = 90^{\circ}-\angle ADE$，$\angle ADF = 90^{\circ}-\angle CDF$，因为$\angle ADE=\angle CDF$，所以$\angle BDE=\angle ADF$）。
根据$ASA$（角 - 边 - 角）定理，$\triangle BDE\cong\triangle ADF$。
所以$BE = AF$。
2. （2）$BE = AF$仍然成立。
连接$AD$。
因为$\angle A = 90^{\circ}$，$AB = AC$，$D$为$BC$中点，所以$AD = BD$，$\angle ABD=\angle CAD = 45^{\circ}$，$\angle ADB = 90^{\circ}$。
又因为$DE\perp DF$，所以$\angle EDF=\angle ADB = 90^{\circ}$。
则$\angle EDF+\angle ADE=\angle ADB+\angle ADE$，即$\angle BDE=\angle ADF$。
因为$\angle ABD = 180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}$，$\angle DAF = 180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}$。
在$\triangle BDE$和$\triangle ADF$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle DBE=\angle DAF\\BD = AD\\\angle BDE=\angle ADF\end{array}\right.$。
根据$ASA$定理，$\triangle BDE\cong\triangle ADF$。
所以$BE = AF$。
综上，（1）得证$BE = AF$；（2）$BE = AF$成立。

7. 在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$BD平分\angle ABC$,交$AC于点D$,$BD = AD$.
(1)如图①,求$\angle BAC$的度数.
(2)如图②,若$E是AB$的中点,连接$ED$并延长,交$BC的延长线于点F$,连接$AF$. 求证：$AF = AB + BC$.

答案： 1. （1）
设$\angle ABD=\angle DBC = x$。
因为$BD = AD$，所以$\angle A=\angle ABD=x$。
又因为$AB = AC$，所以$\angle ABC=\angle ACB = 2x$。
根据三角形内角和定理$\angle A+\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}$，即$x + 2x+2x=180^{\circ}$。
合并同类项得$5x = 180^{\circ}$，解得$x = 36^{\circ}$。
所以$\angle BAC=x = 36^{\circ}$。
2. （2）
证明：
因为$BD$平分$\angle ABC$，$\angle ABD=\angle DBC = 36^{\circ}$，$\angle A=\angle ABD = 36^{\circ}$，$\angle ABC=\angle ACB = 72^{\circ}$，$BD = AD$，$E$是$AB$中点，所以$DE\perp AB$（等腰三角形三线合一），即$\angle AEF = 90^{\circ}$，$AE=BE$。
则$DE$是$AB$的垂直平分线，所以$AD = BD$，$\angle ADE=\angle BDE$。
因为$\angle ADB = 180^{\circ}-36^{\circ}-36^{\circ}=108^{\circ}$，所以$\angle ADE=\angle BDE = 54^{\circ}$。
又因为$\angle BDC=\angle A+\angle ABD = 72^{\circ}$（三角形外角性质），所以$\angle CDF=\angle ADE = 54^{\circ}$，$\angle F = 180^{\circ}-\angle DBC-\angle BDF$，$\angle BDF=\angle BDE+\angle EDF$，$\angle EDF=\angle CDF$，$\angle DBC = 36^{\circ}$，$\angle BDE = 54^{\circ}$，$\angle CDF = 54^{\circ}$，则$\angle BDF=108^{\circ}$，$\angle F = 36^{\circ}$。
过$D$作$DM\perp BC$于$M$，$DN\perp AB$于$N$，因为$BD$平分$\angle ABC$，所以$DN = DM$。
因为$\angle AED=\angle FMD = 90^{\circ}$，$\angle ADE=\angle FDM = 54^{\circ}$，所以$\triangle ADE\cong\triangle FDM(AAS)$，则$AE = FM$。
因为$AE=\frac{1}{2}AB$，$AB = AC$，$\angle ACB = 72^{\circ}$，$\angle F = 36^{\circ}$，所以$\angle CAF=\angle ACB-\angle F = 36^{\circ}=\angle F$，所以$CF = AC$。
又因为$AB = AC$，$FM=AE=\frac{1}{2}AB$，$BF = BM + MF$，$BM = BC - CM$，$\triangle BDM\cong\triangle ADN(AAS)$（$\angle AND=\angle BMD = 90^{\circ}$，$\angle A=\angle DBM = 36^{\circ}$，$AD = BD$），$AN = BM$，$AE = BE$。
而$AF^{2}=AE^{2}+EF^{2}$，$AB + BC=AB+(BM + MC)$，因为$\triangle ADE\cong\triangle FDM$，$\triangle BDM\cong\triangle ADN$，$CF = AC = AB$。
另一种方法：
延长$AC$到$G$，使$CG = BC$，连接$BG$。
因为$\angle ACB = 72^{\circ}$，所以$\angle G=\angle CBG=\frac{1}{2}\angle ACB = 36^{\circ}$。
因为$\angle BAC = 36^{\circ}$，所以$\angle BAC=\angle G$，$AB = BG$。
因为$E$是$AB$中点，$DE\perp AB$，$\angle AED = 90^{\circ}$，$\angle BAC = 36^{\circ}$，$\angle ABC = 72^{\circ}$，$\angle ABD = 36^{\circ}$，$AD = BD$。
可证$\triangle AED\cong\triangle FEB$（$AE = BE$，$\angle AED=\angle BEF = 90^{\circ}$，$\angle EAD=\angle EBF = 36^{\circ}$），所以$AD = BF$，又$AD = BD$，$\angle BDC = 72^{\circ}$，$\angle F = 36^{\circ}$，$\angle ACF = 108^{\circ}$，$\angle CAF = 36^{\circ}$，所以$CF = AC$。
因为$AB = AC$，$CG = BC$，$\angle G=\angle ABF = 36^{\circ}$，$BG = AB$，$BF = AD = BD$。
可证$\triangle ABF\cong\triangle GBF(SAS)$（$AB = BG$，$\angle ABF=\angle GBF$，$BF = BF$），所以$AF = FG$。
又$FG=FC + CG$，$FC = AC = AB$，$CG = BC$，所以$AF = AB + BC$。
综上，（1）$\angle BAC = 36^{\circ}$；（2）证明过程如上述。