《2025年能力素养与学力提升八年级数学上册人教版》

7. 先化简,再求值：$(x + y)^2 + (x + 2y)(x - 2y) - (4x^3y - 8xy^3) ÷ 2xy$,其中$x = -1$,$y = \frac{1}{2}$。

答案： 原式$=x^{2}+2xy+y^{2}+x^{2}-4y^{2}-2x^{2}+4y^{2}=2xy+y^{2}$,当$x=-1,y=\frac{1}{2}$时,原式$=2×(-1)×\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^{2}=-1+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$.

8. 已知$a + b = 3$,$ab = -12$,求下列各式的值。
(1)$a^2 + b^2$；
(2)$a^2 - ab + b^2$；
(3)$(a - b)^2$。

答案： （1）33；（2）45；（3）57

9. 将一个正方形的一组对边的长增加$3cm$,另一组对边的长减少$3cm$,得到的长方形的面积与这个正方形边长减少$1cm$所得到的正方形的面积相等,求原来这个正方形的面积。

答案： 设原来这个正方形的边长为$x\ cm$.由题意,得$(x+3)(x-3)=(x-1)^{2}$,解得$x=5$.
∴原来这个正方形的面积为$25\ cm^{2}$.

10. 试说明不论$x$,$y$取何值,代数式$x^2 + y^2 + 6x - 4y + 14$的值总是正数。

答案： $x^{2}+y^{2}+6x-4y+14=(x^{2}+6x+9)+(y^{2}-4y+4)+1=(x+3)^{2}+(y-2)^{2}+1$.
∵$(x+3)^{2}\geq0$,$(y-2)^{2}\geq0$,
∴$(x+3)^{2}+(y-2)^{2}+1＞0$.
∴不论$x,y$取何值,代数式$x^{2}+y^{2}+6x-4y+14$的值总是正数.