《2025年能力素养与学力提升八年级数学上册人教版》

8. 在$ \triangle ABC $中,$ AB = BC $。
(1)如图①,直线$ MN 过点 B $,$ AM \perp MN 于点 M $,$ CN \perp MN 于点 N $,且$ \angle ABC = 90^{\circ} $。求证：$ MN = AM + CN $。
(2)如图②,直线$ MN 过点 B $,$ AM 交 MN 于点 M $,$ CN 交 MN 于点 N $,且$ \angle AMB = \angle ABC = \angle BNC $,则$ MN = AM + CN $是否成立？请说明理由。

答案： （1）
∵AM⊥MN，CN⊥MN，
∴∠AMB=∠BNC=90°.
∴∠MAB+∠ABM=90°.
∵∠ABC=90°，
∴∠ABM+∠NBC=90°.
∴∠MAB=∠NBC.在△ABM和△BCN中，{∠AMB=∠BNC，∠MAB=∠NBC，AB=BC，
∴△ABM≌△BCN(AAS).
∴AM=BN，BM=CN.
∴MN=BM+BN=AM+CN. （2）MN=AM+CN成立，理由如下：设∠AMB=∠ABC=∠BNC=α，
∴∠ABM+∠BAM=∠ABM+∠CBN=180° - α.
∴∠BAM=∠CBN.在△ABM和△BCN中，{∠BAM=∠CBN，∠AMB=∠BNC，AB=BC，
∴△ABM≌△BCN(AAS).
∴AM=BN，BM=CN.
∴MN=BN+BM=AM+CN.

9. 在$ \triangle ABC $中,$ AB = AC $,$ D 是射线 CB $上的一个动点(不与点$ B $,$ C $重合),以$ AD 为一边在 AD 的右侧作 \triangle ADE $,使$ AD = AE $,$ \angle DAE = \angle BAC $,连接$ CE $。
(1)如图①,当点$ D 在线段 CB $上,且$ \angle BAC = 90^{\circ} $时,$ \angle DCE = $______；
(2)设$ \angle BAC = \alpha $,$ \angle DCE = \beta $。
① 如图②,当点$ D 在线段 CB $上,$ \angle BAC \neq 90^{\circ} $时,请你探究$ \alpha 与 \beta $之间的数量关系,并证明你的结论；
② 如图③,当点$ D 在线段 CB $的延长线上,$ \angle BAC \neq 90^{\circ} $时,请将图③补充完整,直接写出此时$ \alpha 与 \beta $之间的数量关系为______(不需要证明)。

答案：
（1）90° （2）① α+β=180°，证明：
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=α，∠DAE=∠BAC=∠DAC+∠CAE=α，
∴∠BAD=∠CAE.在△BAD和△CAE中，{AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS).
∴∠ACE=∠B.
∵∠B+∠ACB=180° - α，
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=180° - α=β.
∴α+β=180°. ② 补充完整如图. α=β