《2025年能力素养与学力提升八年级数学上册人教版》

4. 先化简,再求值：$a^{3}\cdot(-b^{3})^{2}+\left(-\dfrac{1}{2}ab^{2}\right)^{3}$,其中$a= \dfrac{1}{4}$,$b = 4$。

答案： 原式$=\frac{7}{8}a^{3}b^{6}$,当$a=\frac{1}{4},b=4$时,原式=56

5. 下图中是小明完成的一道作业,请你参考小明的方法解答下面的问题：
小明的作业
计算：$8^{5}×(-0.125)^{5}$。
解：$8^{5}×(-0.125)^{5}= (-8×0.125)^{5}= (-1)^{5}= -1$。
(1) 计算：① $4^{2026}×(-0.25)^{2026}$；② $\left(\dfrac{12}{5}\right)^{11}×\left(-\dfrac{5}{6}\right)^{13}×\left(\dfrac{1}{2}\right)^{12}$；
(2) 若$2×4^{n}×16^{n}= 2^{19}$,求$n$的值。

答案： （1）①$4^{2026}×(-0.25)^{2026}=(-4× 0.25)^{2026}=(-1)^{2026}=1$. ② 原式$=(-\frac{12}{5}× \frac{5}{6}× \frac{1}{2})^{11}× \frac{1}{2}×(-\frac{5}{6})^{2}=-\frac{1}{2}× \frac{25}{36}=-\frac{25}{72}$. （2）$\because 2× 4^{n}× 16^{n}=2^{19}$,$\therefore 2× (2^{2})^{n}× (2^{4})^{n}=2× 2^{2n}× 2^{4n}=2^{19}$,$\therefore 1+2n+4n=19$,解得$n=3$.

6. 若$a = 7^{8}$,$b = 8^{7}$,用含$a$,$b的式子表示56^{56}$。

答案： $\because a=7^{8},b=8^{7}$,$\therefore 56^{56}=(7× 8)^{56}=(7^{8})^{7}× (8^{7})^{8}=a^{7}b^{8}$.

7. 我们知道,一般的数学公式、法则、定义可以正向运用,也可以逆向运用。对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为$a^{m + n}= a^{m}\cdot a^{n}$,$a^{mn}= (a^{m})^{n}= (a^{n})^{m}$,$a^{m}b^{m}= (ab)^{m}$($m$,$n$为正整数)。请运用这个思路和幂的运算法则解决下面的问题：
(1) 若$x^{a}= 2$,$x^{b}= 3$,求$x^{3a + 2b}$的值；
(2) 计算：$2^{100}×8^{101}×\left(\dfrac{1}{4}\right)^{200}$。

答案： （1）$\because x^{a}=2,x^{b}=3$,$\therefore x^{3a+2b}=x^{3a}\cdot x^{2b}=(x^{a})^{3}\cdot (x^{b})^{2}=2^{3}\cdot 3^{2}=8× 9=72$. （2）$2^{100}× 8^{101}× (\frac{1}{4})^{200}=2^{100}× 8^{100}× 8× [(\frac{1}{4})^{2}]^{100}=8× 16^{100}× (\frac{1}{16})^{100}=8× 1=8$.