《2025年能力素养与学力提升八年级数学上册人教版》

6. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,点 $ D $ 在边 $ BC $ 的延长线上, $ \angle ACB = 110^{\circ} $, $ \angle ABC $ 的平分线交 $ AD $ 于点 $ E $, 过点 $ E $ 作 $ EH \perp BD $, 垂足为 $ H $, 连接 $ BE $, $ CE $, 且 $ \angle CEH = 55^{\circ} $.
(1) 求 $ \angle ACE $ 的度数;
(2) 求证: $ AE $ 平分 $ \angle CAF $.

答案：

(1)
∵∠ACB=110°,
∴∠ACD=180°−110°=70°.
∵EH⊥BD,
∴∠CHE=90°.
∵∠CEH=55°,
∴∠ECH=90°−55°=35°.
∴∠ACE=70°−35°=35°.
(2) 如图,过点E分别作EM⊥BF交BF于点M,EN⊥AC交AC于点N,
∵BE平分∠ABC,
∴EM=EH.
∵∠ACE=∠ECH=35°,
∴CE平分∠ACD.
∴EN=EH.
∴EM=EN.
∴AE平分∠CAF.

1. 如图, $ H $ 是 $ \triangle ABC $ 内一点, 要使点 $ H $ 到 $ AB $, $ AC $ 的距离相等, 若 $ S_{\triangle ABH} = S_{\triangle BCH} $, 则点 $ H $ 是(A)

A.$ \angle BAC $ 的平分线与边 $ AC $ 上中线的交点
B.$ \angle BAC $ 的平分线与边 $ AB $ 上中线的交点
C.$ \angle ABC $ 的平分线与边 $ AC $ 上中线的交点
D.$ \angle ABC $ 的平分线与边 $ BC $ 上中线的交点

答案： A

2. 如图,直线 $ a $, $ b $, $ c $ 表示三条互相交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有(D)

A.1 处
B.2 处
C.3 处
D.4 处

答案： D

3. 如图,已知 $ \triangle ABC $ 的三条边 $ AB $, $ BC $, $ CA $ 的长分别为 $ 12 \, cm $, $ 10 \, cm $, $ 6 \, cm $, 其三条角平分线的交点为 $ O $, 则 $ S_{\triangle ABO} : S_{\triangle BCO} : S_{\triangle CAO} = $6:5:3.

答案： 6:5:3

4. 如图, $ \triangle ABC $ 的外角 $ \angle ACD $ 的平分线 $ CP $ 与内角 $ \angle ABC $ 的平分线 $ BP $ 交于点 $ P $, 若 $ \angle BPC = 40^{\circ} $, 则 $ \angle CAP = $50°.

答案： 50°