《2025年能力素养与学力提升八年级数学上册人教版》

8. (1)已知$x^{2a + b}\cdot x^{3a - b}\cdot x^{a}= x^{12}$,求$-a^{100}+2^{101}$的值.
(2)若$m$,$n为正整数(m ＜ n)$,且$2^{m}\cdot2^{n}= 32$,求$mn$的值.

答案： （1）$\because x^{2a+b}\cdot x^{3a-b}\cdot x^{a}=x^{12}$，$\therefore 2a+b+3a-b+a=12$，解得$a=2$，当$a=2$时，$-a^{100}+2^{101}=-2^{100}+2^{101}=2^{100}× 2-2^{100}=2^{100}$. （2）由$2^{m}\cdot 2^{n}=32$得$m+n=5$，而$m,n$为正整数，且$m\lt n$.$\therefore \left\{\begin{array}{l} m=1,\\ n=4\end{array}\right. $或$\left\{\begin{array}{l} m=2,\\ n=3.\end{array}\right. $$\therefore mn$的值为4或6.

9. 我们约定$a☆b = 10^{a}×10^{b}$,例如：$2☆3 = 10^{2}×10^{3}= 10^{5}$.
(1)试求$12☆3和4☆8$的值.
(2)$(a + b)☆c是否与a☆(b + c)$相等？并说明理由.

答案： （1）$12☆3=10^{12}× 10^{3}=10^{15}$ $4☆8=10^{4}× 10^{8}=10^{12}$ （2）相等，理由如下：$\because (a+b)☆c=10^{a+b}× 10^{c}=10^{a+b+c}$，$a☆(b+c)=10^{a}× 10^{b+c}=10^{a+b+c}$，$\therefore (a+b)☆c=a☆(b+c)$.