《2025年能力素养与学力提升八年级数学上册人教版》

21. 如图,在平面直角坐标系中,$ A(-5,0) $,$ B(0,5) $,$ C $ 为 $ x $ 轴正半轴上一动点,过点 $ A $ 作 $ AD \perp BC $ 交 $ y $ 轴于点 $ E $.
(1)若点 $ C $ 的坐标为 $ (3,0) $,则点 $ E $ 的坐标为______；连接 $ DO $. 求证：$ DO $ 平分 $ \angle ADC $.
(2)若点 $ C $ 在 $ x $ 轴正半轴上运动,当 $ OC + CD = AD $ 时,求 $ \angle OBC $ 的度数.

答案：

(1)$(0,3)$
如图,作$OM \perp AD$于点$M$, $ON \perp BC$于点$N$. 易证 $Rt\triangle AOE \cong Rt\triangle BOC(HL)$, 则$S_{\triangle AOE} = S_{\triangle BOC}$, 即$\frac{1}{2}AE \cdot OM = \frac{1}{2}BC \cdot ON$. $\because AE = BC$, $\therefore OM = ON$. 又$\because OM \perp AD$, $ON \perp BC$, $\therefore DO$平分 $\angle ADC$.
(2)如图,在$DA$上截取$DP = DC$, 连接$OP$, $\because \angle PDO = \angle CDO$, $OD = OD$, $\therefore \triangle OPD \cong \triangle OCD(SAS)$. $\therefore OC = OP$, $\angle OPD = \angle OCD$. $\because OC + CD = AD$, $\therefore OC = AD - CD$, $\therefore AD - DP = AP$, 即$AP = OP$. $\therefore \angle PAO = \angle POA$. $\therefore \angle OPD = \angle PAO + \angle POA = 2\angle PAO = \angle OCB$. 又$\because \angle PAO + \angle OCD = 90^{\circ}$, $\therefore 3\angle PAO = 90^{\circ}$. $\therefore \angle PAO = 30^{\circ}$. $\because \angle OAP = \angle OBC$, $\therefore \angle OBC = \angle PAO = 30^{\circ}$.

22. 如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形,那么这种分割称为等腰分割,这条线段称为这个三角形的等腰分割线. 如图①,当 $ \triangle ABD $ 和 $ \triangle ACD $ 为等腰三角形时,$ AD $ 为 $ \triangle ABC $ 的等腰分割线.
(1)如图②,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle B = 2 \angle C $,线段 $ AC $ 的垂直平分线 $ ED $ 交 $ AC $ 于点 $ D $,交 $ BC $ 于点 $ E $. 求证：$ AE $ 是 $ \triangle ABC $ 的一条等腰分割线.
(2)在 $ \triangle ABC $ 中,$ AD $ 为 $ \triangle ABC $ 的等腰分割线,$ AD = BD $,$ \angle C = 30^{\circ} $,请你画出所有可能的图形,并求出 $ \angle B $ 的度数.

答案：

(1)$\because DE$是线段$AC$的垂直平分线, $\therefore EA = EC$, 即$\triangle EAC$是等腰三角形. $\therefore \angle EAC = \angle C$. $\therefore \angle AEB = \angle EAC + \angle C = 2\angle C$. $\because \angle B = 2\angle C$, $\therefore \angle AEB = \angle B$, 即$\triangle EAB$是等腰三角形. $\therefore AE$是$\triangle ABC$是一条等腰分割线.
(2)线段$AD$即为所求分割线. $\therefore \triangle ABD$和$\triangle ACD$都是等腰三角形.
① 如图①,当$AD = CD = BD$时, $\angle C = \angle CAD = 30^{\circ}$, $\therefore \angle ADB = \angle C + \angle CAD = 30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ}$. $\because AD = BD$, $\therefore \angle B = \angle BAD = 60^{\circ}$;
② 如图②,当$AD = BD = AC$时, $\angle ADC = \angle C = 30^{\circ}$. $\because AD = BD$, $\therefore \angle B = \angle DAB$. $\because \angle ADC = \angle B + \angle BAD = 30^{\circ}$, $\therefore \angle B = 15^{\circ}$;
③ 如图③,当$AD = BD$, $AC = CD$时, $\angle CAD = \angle ADC = \frac{180^{\circ} - 30^{\circ}}{2} = 75^{\circ}$. $\because \angle B = \angle BAD$, $\angle ADC = \angle B + \angle BAD$, $\therefore \angle B = 37.5^{\circ}$.
综上所述, $\angle B$的度数为$60^{\circ}$或$15^{\circ}$或$37.5^{\circ}$.