《2025年能力素养与学力提升八年级数学上册人教版》

3. 如图,$D是\triangle ABC的边AB$上一点,$CF// AB$,$DF交AC于点E$,$DE = EF$.
(1) 求证：$\triangle ADE\cong\triangle CFE$；
(2) 若$AB = 5$,$CF = 4$,求$BD$的长.

答案：
(1)
∵CF//AB，
∴∠ADF=∠F，∠A=∠ECF. 在△ADE和△CFE中，$\left\{\begin{array}{l} ∠A=∠ECF,\\ ∠ADE=∠F,\\ DE=FE,\end{array}\right. $
∴△ADE≌△CFE(AAS).
(2)
∵△ADE≌△CFE，
∴AD=CF=4.
∴BD=AB−AD=5−4=1.

4. 如图,$AD = BC$,且$AD// BC$,$O是DB$的中点,过点$O作EF交AB$,$DC于点E$,$F$. 求证：$OE = OF$.

答案： 提示：由已知先证△ADB≌△CBD(SAS)，
∴∠ABD=∠CDB，
∴△BOE≌△DOF(ASA).
∴OE=OF.

5. 如图,$AD// BC$,$\angle1= \angle2$,$\angle3= \angle4$,点$E在线段DC$上. 求证：$AD + BC = AB$.

答案： 提示：在AB上取一点Q，使得AQ=AD. 连接QE，先证△ADE≌△AQE(SAS)，
∴∠D=∠AQE. 又
∵AD//BC，
∴∠D+∠C=180°. 又∠AQE+∠EQB=180°，
∴∠EQB=∠C，证得△BQE≌△BCE(AAS).
∴BC=BQ，
∴AD+BC=AB.