《2025年能力素养与学力提升八年级数学上册人教版》

19. 在△ABC中,定义∠BAC的平分线所在直线与∠ABC的外角平分线所在直线所夹的锐角∠APB为∠C的伴随角.
(1)如图,在△ABC中,∠C= 90°,∠BAC= 60°,则∠C的伴随角∠APB的度数为______；
(2)小明试图探究任意△ABC中∠C的伴随角∠APB与∠C之间的数量关系,于是他动手画了∠C分别为直角、锐角、钝角的三个图,猜想∠C的伴随角∠APB与∠C之间的数量关系的猜想：______；
(3)请你选择∠C是锐角或钝角的情况,画出图形,帮小明证明他的猜想.

答案：

(1)45°
(2) ∠APB= $\frac{1}{2}$∠C
(3)如图，
∵AP平分∠BAC,
∴∠BAP= $\frac{1}{2}$∠BAC.又
∵BE平分∠ABD,
∴∠1= $\frac{1}{2}$∠ABD.
∵∠APB=∠1−∠BAP,
∴∠APB= $\frac{1}{2}$∠ABD− $\frac{1}{2}$∠BAC.
∴∠APB= $\frac{1}{2}$（∠ABD−∠BAC）.
∴∠APB= $\frac{1}{2}$∠C.

20. 在△ABC中,CD平分∠ACB交AB于点D,E是AB上的动点(不与点D重合),过点E作EF//BC交直线CD于点F,∠BEF的平分线所在的直线与射线CD交于点G.
(1)如图,点E在线段AD上运动.
① 若∠B= 60°,∠ACB= 30°,则∠EGC= ______；
② 若∠A= 80°,求∠EGC的度数.
(2)若点E在射线DB上运动时,探究∠EGC与∠A之间的数量关系,请直接写出答案.

答案：

(1)①
∵EF//BC,
∴∠B=∠FEB,∠EFD=∠BCD.
∵CF是∠ACB的平分线,EG是∠FED的平分线,
∴∠FEG=∠DEG= $\frac{1}{2}$∠FED= $\frac{1}{2}$∠B,∠BCD=∠ACD= $\frac{1}{2}$∠ACB=∠EFD.又
∵∠EGC=∠FEG+∠EFG,
∴∠EGC= $\frac{1}{2}$∠B+ $\frac{1}{2}$∠ACB= $\frac{1}{2}$×60°+ $\frac{1}{2}$×30°=45°. ② 由①,得∠EGC= $\frac{1}{2}$∠B+ $\frac{1}{2}$∠ACB= $\frac{1}{2}$（∠B+∠ACB）= $\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°- $\frac{1}{2}$∠A=90°- $\frac{1}{2}$×80°=50°.
(2)当点E在线段DB上时，如图①，
∵EF//BC,
∴∠AEF=∠B,∠EFG=∠BCD= $\frac{1}{2}$∠ACB.
∵GH平分∠BEF,
∴∠BEH=∠HEF.
∴∠EGC=∠HEF−∠EFG= $\frac{180°-∠AEF}{2}$− $\frac{1}{2}$∠ACB=90°− $\frac{1}{2}$∠AEF− $\frac{1}{2}$∠ACB=90°− $\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=90°− $\frac{1}{2}$（180°-∠A）= $\frac{1}{2}$∠A;当点E在射线DB上时，如图②，由
(1)，得∠EGD=90°− $\frac{1}{2}$∠A,
∴∠EGC=180°−∠EGD=180°−90°+ $\frac{1}{2}$∠A=90°+ $\frac{1}{2}$∠A.综上所述，∠EGC与∠A之间的数量关系为∠EGC= $\frac{1}{2}$∠A或∠EGC=90°+ $\frac{1}{2}$∠A. A E　　　　　　　　　　　　　　　　　　F 图② (第20题)