《2025年能力素养与学力提升八年级数学上册人教版》

15. 如图,在平面直角坐标系中,$ \triangle ABC $ 的三个顶点坐标分别为 $ A(1,4) $,$ B(4,2) $,$ C(3,5) $,请回答下列问题：
(1)在方格纸中画出 $ \triangle ABC $ 关于 $ x $ 轴的对称图形 $ \triangle A_1B_1C_1 $；
(2)直接写出点 $ A_1 $,$ B_1 $,$ C_1 $ 的坐标：$ A_1 $(______),$ B_1 $(______),$ C_1 $(______)；
(3)已知点 $ M(m - 1,3) $ 与点 $ N(-2,n + 1) $ 关于 $ x $ 轴对称,直接写出 $ m $,$ n $ 的值：$ m = $______,$ n = $______；
(4)若 $ y $ 轴上一点 $ P $ 的坐标为 $ (0,m) $,当 $ 2 \leq m \leq 4 $ 时,$ S_{\triangle PAB} = 4 $,求点 $ P $ 的坐标.

答案：

(1)
(2)$(1,-4)$ $(4,-2)$ $(3,-5)$
(3)$-1$ $-4$
(4)$\because$点$P$的坐标为$(0,m)$, 当$2 \leqslant m \leqslant 4$时, $S_{\triangle PAB} = \frac{1}{2} × (1 + 4) × 2 - \frac{1}{2} × 1 × (4 - m) - \frac{1}{2} × 4 × (m - 2) = 4$, 解得$m = 2$, $\therefore$点$P$的坐标为$(0,2)$.

16. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,$ D $ 为 $ CA $ 延长线上一点,$ DE \perp BC $ 于点 $ E $,交 $ AB $ 于点 $ F $,且 $ AF = BF $. 求证：
(1)$ \triangle ADF $ 是等腰三角形；
(2)$ DF = 2EF $.

答案：
(1)$\because AB = AC$, $\therefore \angle B = \angle C$. $\because DE \perp BC$, $\therefore \angle B + \angle BFE = \angle C + \angle D = 90^{\circ}$. $\therefore \angle D = \angle BFE$. $\because \angle BFE = \angle DFA$, $\therefore \angle D = \angle DFA$. $\therefore AD = AF$. $\therefore \triangle ADF$是等腰三角形.
(2)过点$A$作$AH \perp DE$于点$H$, $\because DE \perp BC$, $\therefore \angle AHF = \angle BEF = 90^{\circ}$. 由
(1)知$AD = AF$, $\therefore DH = FH$. 在$\triangle AFH$和$\triangle BFE$中, $\left\{\begin{array}{l} \angle AHF = \angle BEF, \\ \angle AFH = \angle BFE, \\ AF = BF, \end{array}\right.$ $\therefore \triangle AFH \cong \triangle BFE(AAS)$. $\therefore FH = EF$. $\therefore DH = FH = EF$. $\therefore DF = 2EF$.

17. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,$ AD \perp BC $ 于点 $ D $.
(1)若 $ \angle B = 39^{\circ} $,求 $ \angle CAD $ 的度数.
(2)若点 $ E $ 在边 $ AC $ 上,$ EF // AB $ 交 $ AD $ 的延长线于点 $ F $. 求证：$ AE = FE $.

答案：
(1)$\because AB = AC$, $AD \perp BC$, $\therefore \angle BAD = \angle CAD$, $\angle ADC = 90^{\circ}$. 又$\because \angle B = 39^{\circ}$, $\therefore \angle CAD = \angle BAD = 90^{\circ} - 39^{\circ} = 51^{\circ}$.
(2)$\because AB = AC$, $AD \perp BC$, $\therefore \angle BAD = \angle CAD$. $\because EF // AB$, $\therefore \angle F = \angle BAD$. $\therefore \angle CAD = \angle F$. $\therefore AE = FE$.