《2025年同步练习册泰山出版社八年级数学上册青岛版》

2. 如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle B = 90° $,$ \angle C = 20° $,分别以点 $ A $,$ C $ 为圆心,大于 $ \frac{1}{2}AC $ 的长为半径作弧,两弧相交于点 $ M $,$ N $,作直线 $ MN $,分别交 $ AC $,$ BC $ 于点 $ D $,$ E $,连接 $ AE $。则 $ \angle BAE = ( ) $。

A.$ 20° $
B.$ 40° $
C.$ 50° $
D.$ 60° $

答案： C

3. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ DE $ 垂直平分线段 $ AB $,交 $ AB $ 于点 $ E $,交 $ AC $ 于点 $ D $,已知 $ AC = 16 $,$ \triangle BCD $ 的周长为 25,则 $ BC = $______。

答案： 9

4. 如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle ABC = 90° $,点 $ D $ 是 $ AB $ 上的一点,在斜边 $ AC $ 上取一点 $ P $,使 $ PD + PB $ 最短。

答案：

5. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AD \perp BC $,$ EF $ 垂直平分 $ AC $,交 $ AC $ 于点 $ F $,交 $ BC $ 于点 $ E $,且 $ BD = DE $。
(1) 若 $ \angle BAE = 40° $,求 $ \angle C $ 的度数；
(2) 若 $ \triangle ABC $ 的周长为 $ 20 cm $,$ AC = 8 cm $,求 $ DC $ 的长。

答案：
(1)因为AD⊥BC,BD=DE,所以AD垂直平分BE。所以AB=AE。因为EF垂直平分AC,所以EA=EC,AF=FC。因为EF=EF,所以△AEF≌△CEF(SSS)。所以∠C=∠EAC。因为AB=AE,AD⊥BC,所以∠DAE= $\frac{1}{2}$∠BAE= $\frac{1}{2}$×40°=20°,∠ADC=90°。所以∠DAE+∠EAC+∠C=90°。所以2∠C=90°-∠DAE=90°-20°=70°。所以∠C=35°。
(2)因为△ABC的周长为20 cm,所以AB+BC+AC=20 cm。所以AB+BC=20-AC=20-8=12(cm)。因为AB=EC,BD=DE,所以DC=DE+EC=AB+BD= $\frac{1}{2}$(AB+BC)= $\frac{1}{2}$×12=6(cm)。

6. 如图,点 $ P $ 是 $ \angle AOB $ 外的一点,点 $ M $,$ N $ 分别是 $ \angle AOB $ 两边上的点,点 $ P $ 关于 $ OA $ 的对称点 $ Q $ 恰好落在线段 $ MN $ 上,点 $ P $ 关于 $ OB $ 的对称点 $ R $ 落在 $ MN $ 的延长线上。若 $ PM = 2.5 cm $,$ PN = 3 cm $,$ MN = 4 cm $,则线段 $ QR $ 的长为( )。

A.$ 4.5 cm $
B.$ 5.5 cm $
C.$ 6.5 cm $
D.$ 7 cm $

答案： A

7. (1) 如图①,在直线 $ AB $ 一侧有 $ C $,$ D $ 两点,在 $ AB $ 上找一点 $ P $,使 $ C $,$ D $,$ P $ 三点组成的三角形的周长最短,找出此点并说明理由。
(2) 如图②,在 $ \angle AOB $ 内部有一点 $ P $,是否在 $ OA $,$ OB $ 上分别存在点 $ E $,$ F $,使得 $ E $,$ F $,$ P $ 三点组成的三角形的周长最短,找出 $ E $,$ F $ 两点,并说明理由。

答案：

(1)如图,作C关于直线AB的对称点C',连接C'D交AB于点P。则点P就是所要求作的点。　　　　　　　　　　　　　　 理由:在l上取不同于P的点P',连接CP',DP'。因为C和C'关于直线l对称,所以PC=PC',P'C=P'C'。因为PC+PD+CD=C'D+CD,P'C+P'D+CD=P'C'+P'D+CD,而C'D＜P'C'+P'D,所以PC+PD+CD＜P'C+P'D+CD。
(2)如图,作P关于射线OA,OB的对称点C,D,连接CD分别交OA,OB于点E,F,则点E,F即为所求作的点。　　　　　　　　　　　　　　　　 理由:在OA,OB上取不同于E,F的点E',F',连接E'F',CE',E'P,DF',PF'。因为C和P关于直线OA对称,D和P关于直线OB对称,所以PE=CE,CE'=PE',PF=DF,PF'=DF'。因为PE+EF+PF=CE+EF+DF,所以PE'+PF'+E'F'=CE'+E'F'+DF'。所以CE+EF+DF＜CE'+E'F'+DF'。所以PE+EF+PF＜PE'+PF'+E'F'。