《2025年同步练习册泰山出版社八年级数学上册青岛版》

(1)由规律可得从$1$开始连续奇数的和等于奇数个数的平方。
(2)由第$1小问可知第n个等式为从1开始连续n$个奇数的和。
(3)首先将原式改写成$(1 + 3 + 5 + … + 47 + 49)-(1 + 3 + 5 + 7 + 9)$。

答案：
(1)
观察：$1 = 1^{2}$，$1 + 3 = 4 = 2^{2}$，$1+3 + 5 = 9 = 3^{2}$，$1+3+5 + 7 = 16 = 4^{2}$，$\cdots$
从$1$开始连续奇数的和等于奇数个数的平方。
(2)
第$n$个等式：$1 + 3+5+\cdots+(2n - 1)=n^{2}$
(3)
因为$1+3+5+\cdots + 49$中，由$2n-1 = 49$，解得$n = 25$，所以$1+3+5+\cdots + 49=25^{2}$；
$1+3+5 + 7+9$中，由$2n - 1=9$，解得$n = 5$，所以$1+3+5 + 7+9=5^{2}$。
则$(1 + 3+5+\cdots+49)-(1 + 3+5 + 7+9)=25^{2}-5^{2}=(25 + 5)×(25 - 5)=30×20 = 600$。
综上，答案依次为：
(1)从$1$开始连续奇数的和等于奇数个数的平方；
(2)$1 + 3+5+\cdots+(2n - 1)=n^{2}$；
(3)$600$。

本题考查了数之间的规律,仔细观察图形、发现其中规律是本题的解题关键。

答案： 答案略

1. 我们知道,$2条直线相交只有1$个交点,$3条直线两两相交最多能有3$个交点,$4条直线两两相交最多能有6$个交点,$5条直线两两相交最多能有10$个交点,$6条直线两两相交最多能有15$个交点……$n$条直线两两相交最多能有______个交点。

答案： $\frac{1}{2}n(n-1)$

例2 用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
已知：如图,$\angle 1是\triangle ABC$的一个外角。
求证：$\angle 1 = \angle A + \angle B$。

答案： 证明：假设∠1≠∠A+∠B，则有∠1＞∠A+∠B或∠1＜∠A+∠B两种情况.
∵∠1是△ABC的外角，
∴∠1+∠ACB=180°（平角定义），即∠ACB=180°-∠1.
在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理），
∴∠A+∠B=180°-∠ACB=∠1.
若∠1＞∠A+∠B，则∠1＞∠1，矛盾；
若∠1＜∠A+∠B，则∠1＜∠1，矛盾.
故假设不成立，因此∠1=∠A+∠B.

首先假设三角形的一个外角不等于与它不相邻的两个内角的和,根据三角形的内角和等于$180^{\circ}$,得到矛盾,所以假设不成立,进而证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

答案： 已知：△ABC，∠ACD是△ABC的一个外角。
求证：∠ACD=∠A+∠B。
证明：假设∠ACD≠∠A+∠B。
在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理），则∠A+∠B=180°-∠ACB。
∵∠ACB+∠ACD=180°（平角定义），
∴∠ACD=180°-∠ACB。
∴∠ACD=∠A+∠B，这与假设∠ACD≠∠A+∠B矛盾。
∴假设不成立，故∠ACD=∠A+∠B。
结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

本题考查了反证法的运用,反证法的一般解题步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确,从而肯定原命题的结论正确。

答案： 假设三角形的三个内角都大于$60^{\circ}$。
根据三角形的内角和性质，三角形的三个内角之和为$180^{\circ}$。
如果每个角都大于$60^{\circ}$，那么三个内角的最小总和将为$3 × 60^{\circ} + \epsilon= 180^{\circ} + \epsilon$，其中$\epsilon$是一个正数。
这与三角形的内角和为$180^{\circ}$相矛盾。
因此，假设不成立，所以三角形中至少有一个内角不大于$60^{\circ}$。

2. 用反证法证明：四边形中至少有一个角是钝角或直角。

答案： 证明:假设四边形中所有角都是锐角,则四个角之和小于360°。与四边形内角和等于360°矛盾,所以假设不成立。所以原命题成立。

例3 【感知】如图①,若$AB // CD$,$AM平分\angle BAC$,求证：$\angle CAM = \angle CMA$。
(1)请将下列证明过程补充完整：
证明：因为$AM平分\angle BAC$(已知),
所以$\angle CAM = $______(角平分线的定义)。
因为$AB // CD$(已知),
所以$\angle CMA = $______(两直线平行,内错角相等)。
所以$\angle CAM = \angle CMA$(等量代换)。
(2)【探索】如图②,$AM平分\angle BAC$,$\angle CAM = \angle CMA$,点$E在射线AB$上,点$F在线段CM$上,若$\angle AEF = \angle C$,求证：$EF // AC$。
(3)【拓展】如图③,将【探索】中的点$F移动到线段CM$的延长线上,其他条件不变,若$\angle CAM = 3\angle MEF = 57^{\circ}$,请直接写出$\angle AME$的度数。

答案：
(1)∠BAM ∠BAM
(2)证明:因为AM平分∠BAC,所以∠CAM=∠BAM。又∠CAM=∠CMA,所以∠CMA=∠BAM。所以AB//CD。所以∠AEF=∠EFD。又∠AEF=∠C,所以∠EFD=∠C。所以EF//AC。
(3)解:由
(2)知EF//AC,过点M作MG//AC,交AB于点G,所以EF//MG。所以∠GME=∠MEF。又MG//AC,所以∠CAM=∠AMG。所以∠CAM+∠MEF=∠AMG+∠GME=∠AME。因为∠CAM=3∠MEF=57°,所以∠MEF=19°。所以∠AME=∠CAM+∠MEF=57°+19°=76°