《2025年同步练习册泰山出版社八年级数学上册青岛版》

5. 如图,在$\triangle DEF$中,$DE = 17\mathrm{cm},EF = 30\mathrm{cm}$,$EF边上的中线DG的长为8\mathrm{cm}$。求证：$DG\perp EF$。

答案： 证明:因为点G是EF的中点,所以$EG=\frac {1}{2}EF=\frac {1}{2}×30=15(cm)$。因为$DG^{2}+EG^{2}=8^{2}+15^{2}=289=17^{2}=DE^{2},$所以$\triangle DGE$是直角三角形,所以$DG⊥EF$。

6. 为了积极响应国家乡村振兴号召,某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员。如图,笔直公路$MN的一侧点A$处有一村庄,村庄到公路$MN的距离为600\mathrm{m}$,假使宣讲车$P周围1000\mathrm{m}$以内能听到广播宣传,宣讲车$P在公路MN上沿PN$方向行驶时：
(1)判断村庄能否听到宣传,并说明理由；
(2)如果能听到,已知宣讲车的速度是$200\mathrm{m/min}$,那么村庄总共能听到多长时间的宣传？

答案： 解:
(1)能听到宣传。理由:因为村庄A到公路MN的距离为600m＜1000m,所以村庄能听到宣传。
(2)假设当宣讲车行驶到P点村庄开始能听到宣讲,行驶到Q点村庄恰不能听到宣讲,则$AP=AQ=1000m,AB=600m,$所以$BP=BQ=\sqrt {1000^{2}-600^{2}}=800(m)$。所以$PQ=1600m$。所以村庄能听到宣讲的时间为$1600÷200=8(min)$。所以村庄总共能听到8min的宣传。

7. 在一次“综合与实践”课中,张老师设计了如下数表：
| $n$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | …$$ |
| $a$ | $2^{2}-1$ | $3^{2}-1$ | $4^{2}-1$ | $5^{2}-1$ | …$$ |
| $b$ | $4$ | $6$ | $8$ | $10$ | …$$ |
| $c$ | $2^{2}+1$ | $3^{2}+1$ | $4^{2}+1$ | $5^{2}+1$ | …$$ |

(1)请你分别观察$a,b,c与n$之间的关系,并用含自然数$n(n ＞ 1)$的代数式表示：$a= $______,$b= $______,$c= $______。
(2)猜想：以$a,b,c$为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想。

答案：
(1)$n^{2}-1$ 2n $n^{2}+1$
(2)解:是直角三角形。证明:因为$a^{2}+b^{2}=(n^{2}-1)^{2}+4n^{2}=n^{4}+2n^{2}+1=(n^{2}+1)^{2}=c^{2},$所以$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。所以以a,b,c为边的三角形是直角三角形。