《2025年同步练习册泰山出版社八年级数学上册青岛版》

6. 如图,$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的角平分线,$DE$,$DF$ 分别是 $\triangle ABD$ 和 $\triangle ACD$ 的高,连接 $EF$ 交 $AD$ 于点 $G$。下列结论正确的为( )。


A.$AD$ 垂直平分 $EF$
B.$EF$ 垂直平分 $AD$
C.$AD$ 平分 $\angle EDF$
D.当 $\angle BAC$ 为 $60°$ 时,$\triangle AEF$ 是等边三角形

答案： ACD

7. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$ED // BC$,$\angle ABC$ 和 $\angle ACB$ 的平分线分别交 $ED$ 于点 $G$,$F$,若 $FG = 4$,$ED = 8$,则 $EB + DC = $ ______。

答案： 12

8. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$AD$ 是 $BC$ 边上的高,点 $E$,$F$ 是 $AD$ 的三等分点,若 $\triangle ABC$ 的面积为 12,则图中 $\triangle BEF$ 的面积为 ______。

答案： 2

9. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$BC = 4$,$S_{\triangle ABC} = 12$,点 $D$,$E$ 分别是 $AB$,$BC$ 的中点,点 $F$ 在 $AC$ 上,且 $FD \perp AB$。若点 $P$ 为线段 $DF$ 上一动点,连接 $BP$,$EP$,则 $\triangle BPE$ 周长的最小值是 ______。

答案： 8

10. 在 $\triangle ABC$ 中,$\angle A = 80°$,当 $\angle B = $ ______ 时,$\triangle ABC$ 是等腰三角形。

答案： $80^{\circ }$或$50^{\circ }$或$20^{\circ }$

11. (13分)如图,已知等边 $\triangle ABC$ 中,$D$ 是 $AC$ 的中点,$E$ 是 $BC$ 延长线上的一点,且 $CE = CD$,$DM \perp BC$,垂足为 $M$。求证：$M$ 是 $BE$ 的中点。

答案：
证明:如图，连接BD,
因为△ABC是等边三角形，
所以BA=BC,$∠ABC=∠ACB=60^{\circ }$。
因为D是AC的中点，
所以$∠DBC=\frac {1}{2}∠ABC=\frac {1}{2}×60^{\circ }=30^{\circ }$。
因为∠ACB是△DCE的外角，
所以$∠ACB=∠E+∠CDE$。
因为CE=CD，
所以$∠E=∠CDE$。
所以$∠E=\frac {1}{2}∠ACB=\frac {1}{2}×60^{\circ }=30^{\circ }$。
所以$∠DBC=∠E=30^{\circ }$。
所以DB=DE。
因为DM⊥BC，
所以M是BE的中点。