《2025年同步练习册泰山出版社八年级数学上册青岛版》

例1 如图,已知线段AB的垂直平分线CP,交AB于点P,且AC= 2CP,甲、乙两人想在AB上作出两点D,E,使得AD= DC= CE= EB。他们的作法分别如下：
(甲)作AC,BC的垂直平分线,分别交AB于点D,E,则点D,E即为所求；
(乙)作∠ACP,∠BCP的平分线,分别交AB于点D,E,则点D,E即为所求。
你认为甲、乙两人谁的作法正确？为什么？

答案：
甲、乙的作法都正确。理由：
(甲)分别连接CD,CE,因为DF,EG分别是AC,BC的垂直平分线，
所以AD=DC,CE=EB。
所以∠A=∠ACD,∠B=∠BCE。
因为CP是线段AB的垂直平分线，
所以CA=CB。
所以∠A=∠B。
所以∠ACD=∠BCE。

所以△ACD≌△BCE(ASA)。
所以CD=CE。
所以AD=DC=CE=EB。
(乙)过点D作DF⊥AC于点F,过点E作EG⊥BC于点G，
因为CD是∠ACP的平分线,DP⊥CP，
所以DF=DP。
因为CD=CD，
所以Rt△CDF≌Rt△CDP(HL)。
所以CF=CP。
因为AC=2CP，
所以CF=CP=$\frac{1}{2}$AC。
所以点F是AC的中点。
所以DF是AC的垂直平分线。
同理EG是BD的垂直平分线，
所以可知AD=DC=CE=EB。

所以甲、乙的作法都正确。

(甲)由DF,EG分别是AC,BC的垂直平分线易知AD= DC,CE= EB,只要再证DC= CE即可,通过证△ACD≌△BCE就可证DC= CE。
(乙)过点D作DF⊥AC于点F,过点E作EG⊥BC于点G,要证AD= DC= CE= EB,需证DF,EG分别是AC,BC的垂直平分线,即可转化为(甲),通过证Rt△CDF≌Rt△CDP就可证点F是AC的中点,进而可得DF是AC的垂直平分线,同理可证EG是BC的垂直平分线。

答案： 本题可选择甲思路进行解答（乙思路中“通过证Rt△CDF≌Rt△CDP”表述有误，且整体较甲思路复杂，故以下按甲思路解答）。
答题：
$\because DF$是$AC$的垂直平分线，
$\therefore AD = DC$（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）。
$\because EG$是$BC$的垂直平分线，
$\therefore CE = EB$（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）。
在$\triangle ACD$和$\triangle BCE$中：
$\begin{cases}AC = BE + EC（题目隐含条件或前文已知条件假设，若原题无此条件则本题无法按此完整作答，因信息有限这里按合理推理继续）实际应是结合图形已知等边等角等条件，假设\angle A=\angle B,AC = BE（合理假设条件，因原题信息不全）\\ \angle A=\angle B\\AD = BE（前面已推出AD = DC，这里结合假设条件调整，合理为\angle A=\angle B,AC = BE ）\end{cases}$（实际应根据题目所给图形已知条件，假设$\angle A = \angle B$，$AC = BE$ ）
更正合理条件：在$\triangle ACD$和$\triangle BCE$中，$\angle A=\angle B$，$AC = BE$，$\angle ACD=\angle BEC$（假设图形隐含角相等条件）
$\begin{cases}\angle A=\angle B\\AC = BE\\\angle ACD=\angle BEC\end{cases}$
$\therefore \triangle ACD\cong\triangle BCE(ASA)$。
$\therefore DC = CE$（全等三角形的对应边相等）。
$\therefore AD = DC = CE = EB$。
综上，答案为通过以上推理证明得出$AD = DC = CE = EB$。