《2025年同步练习册泰山出版社八年级数学上册青岛版》

3. 图甲是任意一个直角三角形$ABC$,它的两条直角边长分别为$a$,$b$,斜边长为$c$。如图乙、丙分别取四个与直角三角形$ABC$全等的三角形,放在边长为$a + b$的正方形内。你能利用图乙和图丙验证勾股定理吗？说明理由。

答案： 解:由图乙和图丙可知大正方形的边长为$a+b$,则面积为$(a+b)^{2}$,图乙中把大正方形的面积分为了四部分,分别是边长为a的正方形,边长为b的正方形,还有两个长为a,宽为b的长方形,根据面积相等,得$(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+4×\frac {1}{2}ab,$由图丙可得$(a+b)^{2}=c^{2}+4×\frac {1}{2}ab,$所以$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。

1. 在$\triangle ABC$中,$\angle A = 90^{\circ}$,则下列各式中不成立的是( )。

A.$BC^{2}= AB^{2}+AC^{2}$
B.$AB^{2}= AC^{2}+BC^{2}$
C.$AB^{2}= BC^{2}-AC^{2}$
D.$AC^{2}= BC^{2}-AB^{2}$

答案： B

2. 如图,$\angle AOC= \angle BOC$,点$P在OC$上,$PD\perp OA于点D$,$PE\perp OB于点E$。若$OD = 8$,$OP = 10$,则$PE$的长为( )。


A.$5$
B.$6$
C.$7$
D.$8$

答案： B

3. 校园内有两棵树,相距$8\mathrm{m}$,一棵树高为$13\mathrm{m}$,另一棵树高为$7\mathrm{m}$,一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少要飞( )。

A.$10\mathrm{m}$
B.$11\mathrm{m}$
C.$12\mathrm{m}$
D.$13\mathrm{m}$

答案： A

4. 如图,在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,分别以$AB$,$BC$,$AC$为边向外作三个正方形,已知其中两个正方形面积分别为$25$,$169$,则正方形$M$的面积为( )。

A.$100$
B.$144$
C.$154$
D.$194$

答案： B

5. 如图,在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中,$AB = 9$,$BC = 6$,$\angle B = 90^{\circ}$,将$\triangle ABC$折叠,使$A点与BC的中点D$重合,折痕为$MN$,则线段$BN$的长为____。

答案： 4

6. 如图,在四边形$ABCD$中,$\angle BAD = 90^{\circ}$,$\angle DBC = 90^{\circ}$,$AD = 4$,$AB = 3$,$BC = 12$,求$CD$的长。

答案： 解:在$Rt△ABD$中,由勾股定理,得$BD^{2}=AB^{2}+AD^{2}=3^{2}+4^{2}=5^{2}$。在$Rt△BCD$中,由勾股定理,得$CD=\sqrt {BC^{2}+BD^{2}}=\sqrt {12^{2}+5^{2}}=\sqrt {13^{2}}=13$。

7. 如图,在离水面高度为$8\mathrm{m}$的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子$BC的长为17\mathrm{m}$,此人以$1\mathrm{m}$每秒的速度收绳,$7\mathrm{s}后船移动到点D$的位置,则船向岸边移动了多少米(假设绳子是直的)？

答案： 解:在$Rt△ABC$中,因为$∠CAB=90^{\circ },BC=17m,AC=8m,$所以$AB=\sqrt {BC^{2}-AC^{2}}=\sqrt {17^{2}-8^{2}}=15(m)$。因此人以1m每秒的速度收绳,7s后船移动到点D的位置,所以$CD=17-1×7=10(m)$。所以$AD=\sqrt {CD^{2}-AC^{2}}=\sqrt {10^{2}-8^{2}}=6(m)$。所以$BD=AB-AD=15-6=9(m)$。答:船向岸边移动了9m。