《2025年同步练习册泰山出版社八年级数学上册青岛版》

24. (10 分)如图,$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的角平分线,$DE$,$DF$ 分别是 $\triangle ABD$ 和 $\triangle ACD$ 的高。
(1)试说明 $AD$ 垂直平分 $EF$；
(2)若 $AB = 8$,$AC = 6$,$S_{\triangle ABC} = 28$,求 $DE$ 的长。

答案：
(1)证明：因为$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，$DE$，$DF$分别是$\triangle ABD$和$\triangle ACD$的高，所以$DE=DF$。
在$Rt\triangle AED$与$Rt\triangle AFD$中，$\begin{cases} AD=AD, \\ DE=DF, \end{cases}$
所以$Rt\triangle AED\cong Rt\triangle AFD(HL)$。
所以$AE=AF$。
又因为$DE=DF$，
所以$AD$垂直平分$EF$。
(2)解：因为$DE=DF$，
所以$S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AB\cdot DE+\frac{1}{2}AC\cdot DF$
$=\frac{1}{2}DE(AB+AC)$
$=28$。
因为$AB+AC=14$，
所以$DE=4$。

25. (10 分)(1)问题解决：如图,在四边形 $ABCD$ 中,$\angle BAD = \alpha$,$\angle BCD = 180^{\circ} - \alpha$,$BD$ 平分 $\angle ABC$。
①如图①,若 $\alpha = 90^{\circ}$,根据教材中的一个重要性质,直接可得 $AD = CD$,这个性质是 。
②在图②中,求证：$AD = CD$。
(2)拓展探究：根据(1)的解题经验,请解决如下问题：如图③,在等腰 $\triangle ABC$ 中,$\angle BAC = 100^{\circ}$,$BD$ 平分 $\angle ABC$,求证：$BD + AD = BC$。

答案：

(1)①角平分线上的点到角两边的距离相等
②证明：如图②，作$DE\perp BA$交$BA$延长线于点$E$，$DF\perp BC$交$BC$于点$F$。
因为$BD$平分$\angle EBF$，$DE\perp BE$，$DF\perp BF$，
所以$DE=DF$。
因为$\angle BAD+\angle C=180^{\circ}$，
$\angle BAD+\angle EAD=180^{\circ}$，
所以$\angle EAD=\angle C$。
因为$\angle E=\angle DFC=90^{\circ}$。
所以$\triangle DEA\cong\triangle DFC(AAS)$。
所以$AD=CD$。
(2)证明：如图③，在$BC$上截取$BK=BD$，$BT=BA$，连接$DK$，$DT$。
因为$AB=AC$，$\angle A=100^{\circ}$，
所以$\angle ABC=\angle C=40^{\circ}$。
因为$BD$平分$\angle ABC$，
所以$\angle DBK=\frac{1}{2}\angle ABC=20^{\circ}$。
因为$BD=BK$，
所以$\angle BKD=\angle BDK=80^{\circ}$。
因为$\angle BKD=\angle C+\angle KDC$，
所以$\angle KDC=\angle C=40^{\circ}$，
所以$DK=CK$。
因为$BD=BD$，$BA=BT$，
$\angle DBA=\angle DBT$，
所以$\triangle DBA\cong\triangle DBT(SAS)$。
所以$AD=DT$，
$\angle A=\angle BTD=100^{\circ}$。
所以$\angle DTK=\angle DKT=80^{\circ}$。
所以$DT=DK=CK$。
所以$BD+AD=BK+CK=BC$。