《2025年同步练习册泰山出版社八年级数学上册青岛版》

12. (13分)如图所示,$ AD $ 是 $ \triangle ABC $ 的中线,$ DF \perp AC $,$ DE \perp AB $,垂足分别为 $ F $,$ E $,$ BE = CF $。
求证：$ Rt \triangle CDF \cong Rt \triangle BDE $。

答案： 证明：因为 AD 是△ABC 的中线，所以 CD=BD。因为 DF⊥AC，DE⊥AB，所以∠CFD=∠BED=90°。因为 BE=CF，所以 Rt△CDF≌Rt△BDE(HL)。

13. (14分)(1)模型的发现：如图①,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle BAC = 90° $,$ AB = AC $,直线 $ l $ 经过点 $ A $,且 $ B $,$ C $ 两点在直线 $ l $ 的同侧,$ BD \perp l $,$ CE \perp l $,垂足分别为 $ D $,$ E $。
(1)请直接写出 $ DE $,$ BD $ 和 $ CE $ 的数量关系。
(2)模型的迁移1：位置的改变
如图②,在(1)的条件下,若 $ B $,$ C $ 两点在直线的异侧,请说明 $ DE $,$ BD $ 和 $ CE $ 的数量关系,并证明。
(3)模型的迁移2：角度的改变
如图③,在(1)的条件下,若三个直角都变为了相等的钝角,即 $ \angle BAC = \angle 1 = \angle 2 = \alpha $,其中 $ 90° ＜ \alpha ＜ 180° $,(1)的结论还成立吗？若成立,请你给出证明；若不成立,请说明 $ DE $,$ BD $ 和 $ CE $ 的数量关系,并证明。

答案： 解：
(1)DE=BD+CE。理由：因为∠DAC=∠AEC+∠ECA=∠BAC+∠DAB，∠BAC=∠AEC=90°，所以∠DAB=∠ECA。在△DAB 和△ECA 中，$\left\{\begin{array}{l} ∠ADB=∠CEA,\\ ∠DAB=∠ECA,\\ AB=CA,\end{array}\right. $所以△DAB≌△ECA(AAS)。所以 BD=AE，AD=CE。所以 DE=AD+AE=BD+CE。
(2)BD=DE+CE。证明：因为∠BAC=90°，所以∠BAD+∠CAE=90°。因为 CE⊥l，所以∠ACE+∠CAE=90°。所以∠BAD=∠ACE。在△BAD 和△ACE 中，$\left\{\begin{array}{l} ∠ADB=∠CEA,\\ ∠BAD=∠ACE,\\ BA=AC,\end{array}\right. $所以△BAD≌△ACE(AAS)。所以 BD=AE，AD=CE。所以 BD=AE=AD+DE=DE+CE。
(3)
(1)的结论成立。理由：因为∠DAC=∠2+∠ACE=∠BAC+∠BAD，∠BAC=∠2，所以∠BAD=∠ACE。在△DAB 和△ECA 中，$\left\{\begin{array}{l} ∠1=∠2,\\ ∠BAD=∠ACE,\\ AB=AC,\end{array}\right. $所以△DAB≌△ECA(AAS)，所以 BD=AE，AD=CE。所以 DE=AD+AE=BD+CE。