《2025年同步练习册泰山出版社八年级数学上册青岛版》

4. 如图,AB⊥AC,CD⊥BD,AC,BD 相交于点 O。

①已知 AB= CD,利用______可以判定△ABO≌△DCO；
②已知 AB= CD,∠BAD= ∠CDA,利用______可以判定△ABD≌△DCA；
③已知 AB= DC,BD= CA,利用______可以判定△ABD≌△DCA；
④已知 AO= DO,利用______可以判定△ABO≌△DCO。

答案： ①AAS ②SAS ③SSS ④ASA

5. 如图,AD= CB,E,F 是 AC 上的两动点,且有 DE= BF。
(1)若 E,F 运动至如图①所示的位置,且有 AF= CE,试说明：△ADE≌△CBF；


(2)若 E,F 运动至如图②所示的位置,仍有 AF= CE,那么△ADE≌△CBF 还成立吗？为什么？

答案：
(1)先证AE=CF,再用"SSS"证△ADE≌△CBF。
(2)成立,理由同
(1)。

6. 近年来,我校的学习小组搞得有声有色,同学们合作交流、勇于探讨。一次,某学习小组在讨论这样的一个题目：如图①,已知 AB= CD= AE= BC+DE= 2,∠ABC= ∠AED= 90°,求五边形 ABCDE 的面积。
大刚说：“延长 DE 到 F,使得 EF= BC,再连接 AF,AC(如图②),则△AEF 和△ABC 全等。”
小莹说：“这样的话,五边形 ABCDE 的面积就和四边形 ACDF 的面积相等。”
小亮说：“我又发现,连接 AD,则△ACD 和△AFD 全等。”
大家异口同声地说：“对,问题解决了！”

(1)请你把大刚说的△AEF≌△ABC 的证明过程写下来；
(2)请你把小亮说的△ACD≌△AFD 的证明过程写下来；
(3)请你求出五边形 ABCDE 的面积。

答案：
(1)在△ABC和△AEF中,$\left\{\begin{array}{l} AB=AE,\\ ∠B=∠AEF,\\ BC=EF,\end{array}\right. $所以△AEF≌△ABC。
(2)因为△AEF≌△ABC,所以AF=AC。因为FD=DE+EF=DE+BC=2,CD=2,所以FD=CD。在△ACD和△AFD中,$\left\{\begin{array}{l} AC=AF,\\ AD=AD,\\ CD=FD,\end{array}\right. $所以△ACD≌△AFD(SSS)。
(3)S_{五边形ABCDE}=S_{四边形ACDF}=2S_△AFD=2×$\frac {1}{2}$·FD·AE=2×$\frac {1}{2}$×2×2=4。

7. 如图,在∠BAC 的两边上截取 AB= AC,AD= AE,连接 BD,EC 交于点 P,则下列结论正确的是( )。

①△ABD≌△ACE；②△BEP≌△CDP；③△APB≌△APC；④△APE≌△APD。
- A. ①②③④
- B. ①②③
- C. ②③④
- D. ①③④

答案： A

8. 如图,在一个风筝 ABCD 中,AB= AD,BC= DC。

(1)分别在 AB,AD 的中点 E,F 处拉两根彩线 EC,FC,试说明这两根彩线的长度相等；
(2)如果 AE= $\frac{1}{3}$AB,AF= $\frac{1}{3}$AD,那么彩线长度还相等吗？如果 AE= $\frac{1}{4}$AB,AF= $\frac{1}{4}$AD 呢？由此你能得到什么结论？
(3)除(1)(2)的条件外,你还能在哪些已知条件下得到两根彩线长度相等的结论？

答案：
(1)证明:连接AC。因为AB=AD,BC=DC,AC=AC,所以△ABC≌△ADC(SSS)。所以∠BAC=∠DAC。因为E,F分别是AB,AD的中点,所以AE=$\frac {1}{2}$AB,AF=$\frac {1}{2}$AD。因为AB=AD,所以AE=AF。又因为AC=AC,所以△AEC≌△AFC(SAS)。所以EC=FC。所以这两根彩线的长度相等。
(2)解:当AE=$\frac {1}{3}$AB,AF=$\frac {1}{3}$AD时,彩线的长度相等;当AE=$\frac {1}{4}$AB,AF=$\frac {1}{4}$AD时,彩线的长度相等。由此可得结论:当AE=$\frac {1}{n}$AB,AF=$\frac {1}{n}$AD时,这两根彩线的长度相等。
(3)当BE=DF时,两根彩线的长度相等。