《2025年同步练习册泰山出版社八年级数学上册青岛版》

8. 某数学兴趣小组在学习了分式的知识后,探究了分式的一种特殊变形,例如：$\frac{2x + 3}{x - 1} = \frac{2(x - 1) + 5}{x - 1} = \frac{2(x - 1)}{x - 1} + \frac{5}{x - 1} = 2 + \frac{5}{x - 1}$。我们把这种将分式的分母不变,分子中构造含分母的结构,从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形方法叫作“分离常数法”。“分离常数法”是分式研究的重要数学思想方法。
【知识理解】
(1) 请利用“分离常数法”将分式$\frac{3x - 1}{x + 1}变形为m + \frac{n}{x + 1}$(其中$m$,$n$为常数),求$m$,$n$的值；

答案： 解:
(1)$\frac{3x-1}{x+1}=\frac{3x+3-4}{x+1}=\frac{3(x+1)}{x+1}+\frac{-4}{x+1}=3+\frac{-4}{x+1}$,则 $m=3,n=-4$。

(2) 解决问题：若分式$\frac{4x - 3}{x - 1}$的值为整数,求满足条件的$x$的整数值。

答案：
(2)$\frac{4x-3}{x-1}=\frac{4x-4+1}{x-1}=\frac{4(x-1)}{x-1}+\frac{1}{x-1}=4+\frac{1}{x-1}$,所以 $4+\frac{1}{x-1}$ 为整数,且 x 为整数。所以 $x-1=\pm1$,所以 $x=0$ 或 $x=2$。