《2025年同步练习册泰山出版社八年级数学上册青岛版》

2. 如图,在△ABC中,AB = BC,∠B = 120°,AB的垂直平分线交AC于点D,若AC = 6 cm,则AD = ( )。


A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.2.8 cm

答案： A

3. 如图,Rt△ABC中,∠BAC = 90°,∠B = 30°,AD⊥BC于点D,CD = 2,BD的长度是( )。


A.24
B.6
C.8
D.无法确定

答案： B

4. 如图,点P,M,N分别在等边△ABC的各边上,且MP⊥AB于点P,MN⊥BC于点M,PN⊥AC于点N。
求证：△PMN是等边三角形。

答案： 证明:因为△ABC是等边三角形，所以∠A=∠B=∠C=60°。因为PN⊥AC,MP⊥AB,所以∠ANP=∠APM=90°。所以∠A+∠APN=90°。所以∠APN=90°−∠A=90°−60°=30°。所以∠MPN=∠APM−∠APN=90°−30°=60°。同理∠PMN=∠PNM=60°,所以∠MPN=∠PMN=∠PNM=60°。所以△PMN是等边三角形。

5. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,CD⊥AB,∠A = 30°。求证：BD = $\frac{1}{4}$AB。

答案： 证明:因为CD⊥AB,所以∠BDC=90°。所以∠B+∠BCD=90°。因为∠ACB=90°,∠A=30°,所以BC=$\frac{1}{2}$AB,∠A+∠B=90°。所以∠BCD=∠A=30°。所以BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{4}$AB。

6. 如图,在△ABC中,AB = AC = 9,∠BAC = 120°,AD是△ABC的中线,AE是∠BAD的平分线,DF//AB交AE的延长线于点F,则DF的长为____。

答案： 4.5

7. 如图,要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户。如果∠C = 90°,∠B = 30°,要使三家农户所得土地的大小、形状都相同,请你试着分一分,并在图上画出来。

答案：
解:先作∠BAC的平分线AD交BC于点D,再过点D 作DE⊥AB于点E,得到三个全等三角形，即可得三家农户所得土地的大小、形状都相同，如图。因为∠C=90°,所以∠BAC+∠B=90°,CD⊥AC。所以∠BAC=90°−∠B=90°−30°=60°。因为AD是∠BAC的平分线，所以∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×60°=30°。所以∠DAE=∠B=30°。因为DE⊥AB,所以∠AED=∠BED=90°。因为DE=DE,所以△ADE≌△BDE(AAS)。因为AD是∠BAC的平分线,DC⊥AC,DE⊥AB,所以DC=DE。因为AD=AD,所以Rt△ADC≌Rt△ADE(HL),所以△ADE≌△BDE≌△ADC