《2025年同步练习册泰山出版社八年级数学上册青岛版》

例1
先化简：$(\frac{3}{x - 1} - x - 1) \cdot \frac{x - 1}{x^2 - 4x + 4}$,再从$1$,$2$,$3中选取一个适当的数作为x$的值代入求值。
- 思路导引：本题中含有分式的减法与乘法的混合运算,应先算括号中的减法运算,再算乘法运算；进行减法运算时注意通分,进行乘法运算时,注意将分式的分子与分母进行因式分解,再约分；同时注意选取的数应使原式有意义。
- 归纳总结：解决分式的混合运算问题时,应遵循规定的运算顺序,灵活运用有关的法则进行运算。
- 跟踪练习：
1. 先化简,再求值：$\frac{1}{x - y}(\frac{2y}{x + y} - 1) ÷ \frac{1}{y^2 - x^2}$,其中$x = y + 2025$。

答案： 解:原式=$\left[\frac{3}{x-1}-\frac{x(x-1)}{x-1}-\frac{x-1}{x-1}\right]\cdot \frac{x-1}{(x-2)^2}$
=$\frac{(2-x)(2+x)}{x-1}\cdot \frac{x-1}{(x-2)^2}$
=$\frac{2+x}{2-x}$。
当$x=1,2$时,分式无意义。
将$x=3$代入原式,得
原式=$\frac{5}{-1}=-5$。

例2
解下列方程：
$1 - \frac{3}{2 - x} = \frac{5 - x}{x - 2}$；
$\frac{x + 1}{4x^2 - 1} = \frac{3}{2x + 1} - \frac{4}{4x - 2}$。
- 思路导引：
先确定各分母的最简公分母是$(x - 2)$,再通过方程两边都乘最简公分母$(x - 2)$,转化为整式方程即可求解；
先将各分式中能因式分解的分子和分母进行因式分解,再确定各分母的最简公分母是$2(2x + 1)(2x - 1)$,最后通过方程两边都乘最简公分母,转化为整式方程即可求解。
- 归纳总结：解分式方程的基本思路是将分式方程通过去分母转化为整式方程,去分母的关键是确定最简公分母。
- 跟踪练习：
2. 解下列方程：
$\frac{2 - x}{x - 3} = \frac{1}{3 - x} - 2$；
$\frac{7}{x^2 + x} + \frac{5}{x^2 - x} = \frac{6}{x^2 - 1}$。

答案： 解:
(1)方程的两边都乘$(x-2)$,得
$x-2+3=5-x$。
解得$x=2$。
检验:当$x=2$时,$x-2=0$。
所以$x=2$是增根,原方程无解。
(2)方程的两边都乘$2(2x+1)(2x-1)$,得
$2(x+1)=3×2(2x-1)-4(2x+1)$。
解得$x=6$。
检验:当$x=6$时,$2(2x+1)(2x-1)≠0$。
所以$x=6$是原方程的解。