《2025年同步练习册泰山出版社八年级数学上册青岛版》

例1 把下列各数填入相应的集合内：
$-7.3,\sqrt{2},-\sqrt{\dfrac{2}{3}},\dfrac{9}{8},\sqrt[3]{27},0.99,\dfrac{\pi}{2},-0.\dot{3}\dot{1}$。
有理数集合：…{ $$ }；
无理数集合：…{ $$ }；
正实数集合：…{ $$ }；
负实数集合：…{ $$ }。

答案： 有理数集合：{-7.3,$\frac{9}{8}$,$\sqrt[3]{27}$,0.99,-0.$\dot{3}$$\dot{1}$,…}；无理数集合：{$\sqrt{2}$,-$\sqrt{\frac{2}{3}}$,$\frac{\pi}{2}$,…}；正实数集合：{$\sqrt{2}$,$\frac{9}{8}$,$\sqrt[3]{27}$,0.99,$\frac{\pi}{2}$,…}；负实数集合：{-7.3,-$\sqrt{\frac{2}{3}}$,-0.$\dot{3}$$\dot{1}$,…}。

有理数、无理数、正实数、负实数的意义→实数的分类→对号入座进行填写。

答案： 答题卡：
实数可分为：
有理数：可以表示为两个整数之比的数，包括整数和分数。例如，$1, \frac{1}{2}, -3, 0.25$。
无理数：不能表示为两个整数之比的数，它们是无限不循环小数。例如，$\pi, \sqrt{2}, \sqrt{3}$。
正实数：大于0的实数，包括正有理数和正无理数。例如，$1, 0.5, \pi, \sqrt{2}$。
负实数：小于0的实数，包括负有理数和负无理数。例如，$-1, -0.5, -\pi, -\sqrt{2}$。
对号入座：
有理数：$1, \frac{1}{2}, -3, 0, 0.25, -1.666\cdots$；
无理数：$\pi, \sqrt{2}, \sqrt{3}, -\sqrt{5}$；
正实数：$1, 0.5（或\frac{1}{2}）, \pi, \sqrt{2}, \sqrt{3}$；
负实数：$-3, -1.666\cdots, -\pi, -\sqrt{2}（或-\sqrt{5}等）$。

掌握实数的分类是解决实数分类问题的关键。理解有理数、无理数、实数的意义,注意不要只看形式,不看实质。像$\sqrt{16}$,$\sqrt[3]{27}$,虽然带着根号,但它们都是有理数。因此带根号的数不一定都是无理数,只有开方开不尽的数才是无理数。

答案： 1. 有理数：有理数是可以表示为两个整数之比的数，即形如$\frac{a}{b}$（其中$b \neq 0$）的形式。
包括整数，有限小数和无限循环小数，例如：
$3$，$\frac{1}{2}$，$0.75$，$0.\overset{.}{3}$ 都是有理数。
同时，某些开方数也是有理数，如：
$\sqrt{16} = 4$，$\sqrt[3]{27} = 3$。
2. 无理数：无理数是不能表示为两个整数之比的数。
它们是无限不循环的小数，如：
$\pi$，$\sqrt{2}$，$e$，以及无法开方开尽的数如$\sqrt{8}$等。
3. 实数：实数包括有理数和无理数。
实数是可以表示在数轴上的数，包括正数、负数和零。
例如：$1$，$-1$，$0$，$\frac{1}{2}$，$\pi$ 都是实数。
4. 带根号的数：带根号的数不一定都是无理数。
只有当根号下的数不是一个完全平方数（或完全立方数等）时，结果才是无理数。
例如：
$\sqrt{16} = 4$（有理数）。
$\sqrt{2}$（无理数）。
$\sqrt[3]{27} = 3$（有理数）。
$\sqrt[3]{2}$（无理数）。