《2025年同步练习册泰山出版社八年级数学上册青岛版》

12. (13分)如图,$AD$ 平分 $\angle BAC$,$AD \perp BD$,垂足为 $D$,$DE // AC$。
求证：$\triangle BDE$ 是等腰三角形。

答案： 证明:因为DE//AC，
所以$∠1=∠3$。
因为AD平分∠BAC，
所以$∠1=∠2$。
所以$∠2=∠3$。
因为AD⊥BD，
所以$∠3+∠BDE=∠ADB=90^{\circ }$。
所以$∠2+∠B=90^{\circ }$。
所以$∠B=∠BDE$。
所以△BDE是等腰三角形。

13. (14分)(1)【问题发现】如图①,$\triangle ACB$ 和 $\triangle DCE$ 均为等边三角形,点 $A$,$D$,$E$ 在同一直线上,连接 $BE$。
求证：$\triangle ACD \cong \triangle BCE$；求 $\angle AEB$ 的度数。
(2)【拓展探究】如图②,$\triangle ACB$ 和 $\triangle DCE$ 均为等腰直角三角形,$\angle ACB = \angle DCE = 90°$,点 $A$,$D$,$E$ 在同一直线上,$CM$ 为 $\triangle DCE$ 中 $DE$ 边上的高,连接 $BE$。求 $\angle AEB$ 的度数及线段 $CM$,$AE$,$BE$ 之间的数量关系,并说明理由。
图①
图②

答案：
(1)证明:因为△ACB和△DCE均为等边三角形，
所以CA=CB,CD=CE,$∠ACB=∠DCE=60^{\circ }$。
所以$∠ACD=60^{\circ }-∠BCD=∠BCE$。
在△ACD和△BCE中,$\left\{\begin{array}{l} AC=BC,\\ ∠ACD=∠BCE,\\ CD=CE,\end{array}\right. $
所以△ACD≌△BCE(SAS)。
解:因为△ACD≌△BCE，
所以$∠ADC=∠BEC$。
因为△DCE为等边三角形，
所以$∠CDE=∠CED=60^{\circ }$。
因为点A,D,E在同一直线上，
所以$∠ADC=120^{\circ }$，
所以$∠BEC=120^{\circ }$。
所以$∠AEB=∠BEC-∠CED=60^{\circ }$。
(2)解:$∠AEB=90^{\circ }$，$AE=BE+2CM$。理由:
因为△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
所以CA=CB,CD=CE,$∠ACB=∠DCE=90^{\circ }$。
所以$∠ACD=∠BCE$。
在△ACD和△BCE中,$\left\{\begin{array}{l} CA=CB,\\ ∠ACD=∠BCE,\\ CD=CE,\end{array}\right. $
所以△ACD≌△BCE(SAS)。
所以AD=BE，$∠ADC=∠BEC$。
因为△DCE为等腰直角三角形，
所以$∠CDE=∠CED=45^{\circ }$。
因为点A,D,E在同一直线上，
所以$∠ADC=135^{\circ }$，
所以$∠BEC=135^{\circ }$。
所以$∠AEB=∠BEC-∠CED=90^{\circ }$。
因为CD=CE，CM⊥DE，
所以DM=ME。
因为$∠DCE=90^{\circ }$，
所以DM=ME=CM。
所以$AE=AD+DE=BE+2CM$。