《2025年同步练习册泰山出版社八年级数学上册青岛版》

7. 计算：
(1)$ \frac{x - 3}{2x - 4} ÷ \left( \frac{5}{x - 2} - x - 2 \right) $；
(2)$ \left( \frac{x + 1}{x^{2} - x} - \frac{x}{x^{2} - 2x + 1} \right) ÷ \frac{1}{x - 1} $。

答案：
(1)$\frac{x-3}{2x-4}÷(\frac{5}{x-2}-x-2)=\frac{x-3}{2x-4}÷$$\frac{5-(x-2)(x+2)}{x-2}=-\frac{1}{2x+6}$。
(2)$(\frac{x+1}{x^2-x}-\frac{x}{x^2-2x+1})÷\frac{1}{x-1}$$=[\frac{x+1}{x(x-1)}-\frac{x}{(x-1)^2}]\cdot(x-1)$$=\frac{x+1}{x}-\frac{x}{x-1}=\frac{-1}{x(x-1)}=\frac{-1}{x^2-x}$。

8. 已知 $ A = \left( 1 - \frac{2}{x + 2} \right) ÷ \frac{x^{2} - 2x}{x^{2} - 4x + 4} $。
(1)化简 $ A $；
(2)若点 $ (x,y) $ 与点 $ (4,-3) $ 关于 $ y $ 轴对称,求 $ A $ 的值。

答案：
(1)$A=(1-\frac{2}{x+2})÷\frac{x^2-2x}{x^2-4x+4}$$=(\frac{x+2}{x+2}-\frac{2}{x+2})÷\frac{x(x-2)}{(x-2)^2}$$=\frac{x}{x+2}\cdot\frac{(x-2)^2}{x(x-2)}$$=\frac{x-2}{x+2}$。
(2)因为点$(x,y)$与点$(4,-3)$关于y轴对称,所以$x=-4,y=-3$,所以$A=\frac{x-2}{x+2}=\frac{-4-2}{-4+2}=3$。

9. 已知 $ x = \frac{2y + 3}{3y - 2} $,则 $ (3x - 2)(3y - 2) $ 的值为______。

答案： 13

10. 【阅读理解】在比较两个数或代数式的大小时,解决策略一般是利用“作差法”,即要比较代数式 $ M $,$ N $ 的大小,只要作出差 $ M - N $。若 $ M - N ＞ 0 $,则 $ M ＞ N $；若 $ M - N = 0 $,则 $ M = N $；若 $ M - N ＜ 0 $,则 $ M ＜ N $。
【解决问题】
(1)若 $ a ＞ 0 $,则 $ \frac{a}{a + 1} - \frac{a - 1}{a} $______ $ 0 $(填“$ ＞ $”“$ = $”或“$ ＜ $”)；
(2)已知 $ A = \frac{2}{x^{2} - 1} $,$ B = \frac{x^{2} - 2x + 1}{x - 1} $,当 $ x ＞ - 1 $ 时,比较 $ A $ 与 $ \frac{1}{B} $ 的大小,并说明理由。

答案：
(1)＞
(2)$A＜\frac{1}{B}$。理由:因为$A=\frac{2}{x^2-1},B=\frac{x^2-2x+1}{x-1}$,所以$A-\frac{1}{B}=\frac{2}{x^2-1}-\frac{x-1}{x^2-2x+1}=\frac{2}{x^2-1}-\frac{x-1}{(x-1)^2}$$=\frac{2}{(x+1)(x-1)}-\frac{1}{x-1}$$=\frac{2}{(x+1)(x-1)}-\frac{x+1}{(x+1)(x-1)}$$=\frac{1-x}{(x+1)(x-1)}=-\frac{1}{x+1}$。因为$x＞-1$,所以$-\frac{1}{x+1}＜0$。所以$A-\frac{1}{B}＜0$,即$A＜\frac{1}{B}$。