《2025年同步练习册泰山出版社八年级数学上册青岛版》

20. (10 分)解下列方程：
(1)$\frac{x + 1}{x - 2} = \frac{2x}{x + 3} - 1$；
(2)$\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{4}{x^{2} - 1} = 1$。

答案：
(1)方程两边同乘$(x-2)(x+3)$，得
$(x+1)(x+3)=2x(x-2)-(x-2)(x+3)$，
$x^{2}+4x+3=2x^{2}-4x-x^{2}-x+6$。
解得$x=\frac{1}{3}$。
检验：当$x=\frac{1}{3}$时，$(x-2)(x+3)≠0$。
所以$x=\frac{1}{3}$为原分式方程的解。
(2)方程两边同乘$(x+1)(x-1)$，得
$(x+1)^{2}-4=(x+1)(x-1)$。
解得$x=1$。
检验：当$x=1$时，$(x+1)(x-1)=0$。
所以$x=1$是增根，原方程无解。

21. (10 分)列方程解应用题：
北京教育考试院发布了《北京市义务教育体育与健康考核评价现场考试项目评分标准(试行)》,2024 年中考中对于体育现场考试项目中的男生 $1000m$ 和女生 $800m$ 的考核标准调整为“达到良好即满分”,即男生达到 $4min05s$,女生达到 $3min55s$ 即可得到满分。在一次计时跑步中,某班一名女生和一名男生的平均速度相同,且这名女生跑完 $800m$ 所用时间比这名男生跑完 $1000m$ 所用时间少 $56s$,按照中考考核标准来看,这名女生能否拿到满分？

答案： 解：设女生所用的时间为$x\ s$，则男生所用时间为$(x+56)\ s$。
根据题意，得$\frac{800}{x}=\frac{1000}{x+56}$。
解得$x=224$。
经检验，$x=224$是原方程的解。
因为$3\ min55\ s=235\ s$，$224＜235$，
所以这名女生能拿到满分。

22. (8 分)如图,点 $E$ 在 $AB$ 上,$CD = CA$,$DE = AB$,$\angle DCA = \angle DEA$。求证：$EC$ 平分 $\angle BED$。

答案： 证明：因为$\angle DCA=\angle DEA$，
所以$\angle D=\angle A$。
在$\triangle ABC$和$\triangle DEC$中，因为$\begin{cases} AC=DC, \\ \angle A=\angle D, \\ AB=DE, \end{cases}$
所以$\triangle ABC\cong\triangle DEC(SAS)$。
所以$\angle B=\angle DEC$，$BC=EC$。
所以$\angle B=\angle BEC$。
所以$\angle BEC=\angle DEC$。
所以$EC$平分$\angle BED$。

23. (10 分)如图①,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$D$ 是 $BC$ 的中点,点 $E$ 在 $AD$ 上。
(1)求证：$BE = CE$；
(2)如图②,若 $BE$ 的延长线交 $AC$ 于点 $F$,且 $BF \perp AC$,垂足为 $F$,$\angle BAC = 45^{\circ}$,原题设其他条件不变。求证：$AE = BC$。

答案：
(1)因为$AB=AC$，$D$是$BC$的中点，
所以$AD$垂直平分$BC$。
所以$BE=CE$。
(2)因为$BF\perp AC$，$\angle BAC=45^{\circ}$，
所以$\triangle ABF$是等腰直角三角形。
所以$AF=BF$。
因为$AB=AC$，$D$是$BC$的中点，
所以$AD\perp BC$。
所以$\angle EAF+\angle C=90^{\circ}$。
因为$BF\perp AC$，
所以$\angle CBF+\angle C=90^{\circ}$。
所以$\angle EAF=\angle CBF$。
在$\triangle AEF$和$\triangle BCF$中，$\begin{cases} \angle EAF=\angle CBF, \\ AF=BF, \\ \angle AFE=\angle BFC, \end{cases}$
所以$\triangle AEF\cong\triangle BCF(ASA)$。
所以$AE=BC$。