《2025年同步练习册泰山出版社八年级数学上册青岛版》

1. 计算 $ x ÷ \left( x - \frac{x^{2}}{1 - x} \right) $ 的结果为( )。

A.$ x - 1 $
B.$ 1 - x $
C.$ \frac{2x - 1}{x - 1} $
D.$ \frac{x - 1}{2x - 1} $

答案： D

2. 计算：$ \left( \frac{x - 1}{x + 1} - \frac{x + 1}{x + 2} \right) ÷ \frac{x + 3}{x^{2} + 4x + 4} $。

答案： $-\frac{x+2}{x+1}$

3. 先化简,再求值：$ \left( \frac{3x}{x + 2} - \frac{x}{x - 2} \right) ÷ \frac{x}{x^{2} - 4} $,其中 $ x = - 3 $。
想一想：本题还有其他计算方法吗？

答案： 解:(方法一)$(\frac{3x}{x+2}-\frac{x}{x-2})÷\frac{x}{x^2-4}$$=\frac{3x(x-2)-x(x+2)}{(x+2)(x-2)}\cdot\frac{x^2-4}{x}=2(x-4)=2x-8$。当$x=-3$时,原式$=2×(-3)-8=-14$。(方法二)$(\frac{3x}{x+2}-\frac{x}{x-2})÷\frac{x}{x^2-4}$$=\frac{3x}{x+2}\cdot\frac{x^2-4}{x}-\frac{x}{x-2}\cdot\frac{x^2-4}{x}$$=3(x-2)-(x+2)=2x-8$。当$x=-3$,原式$=2×(-3)-8=-14$。

1. 当 $ a = 2 $ 时,$ \frac{a^{2} - 2a + 1}{a^{2}} ÷ \left( \frac{1}{a} - 1 \right) $ 的结果是( )。

A.$ \frac{3}{2} $
B.$ - \frac{3}{2} $
C.$ \frac{1}{2} $
D.$ - \frac{1}{2} $

答案： D

2. 化简 $ \left( a - \frac{1}{b} \right) ÷ \left( b - \frac{1}{a} \right) $ 的结果是( )。

A.1
B.$ \frac{b}{a} $
C.$ \frac{a}{b} $
D.$ - \frac{a}{b} $

答案： C

3. 若分式 $ \frac{x^{2}}{x - 1} □ \frac{x}{x - 1} $ 的运算结果为 $ x $,则在“$ □ $”中可添加的运算符号为( )。

A.$ + $
B.$ - $
C.$ - $ 或 $ ÷ $
D.$ + $ 或 $ × $

答案： C

4. 对于任意的 $ x $ 值都有 $ \frac{2x + 7}{(x + 2)(x - 1)} = \frac{M}{x + 2} + \frac{N}{x - 1} $,则 $ M $,$ N $ 的值为( )。

A.$ M = 1 $,$ N = 3 $
B.$ M = - 1 $,$ N = 3 $
C.$ M = 2 $,$ N = 4 $
D.$ M = 1 $,$ N = 4 $

答案： B

5. 已

知

$ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 3 $,则代数式 $ \frac{2x - 14xy - 2y}{x - 2xy - y} $ 的值为______。

答案： 4

6. 下面是学习了分式混合运算后,甲、乙两名同学解答一道题目中第一步的做法。
|计算：$ \left( \frac{m}{m - 1} - \frac{m}{m + 1} \right) \cdot \frac{m^{2} - 1}{2m} $。|
|甲同学
解：原式 $ = \frac{m}{m - 1} \cdot \frac{m^{2} - 1}{2m} - \frac{m}{m + 1} \cdot \frac{m^{2} - 1}{2m} $。|
|乙同学
解：原式 $ = \left[ \frac{m(m + 1)}{(m - 1)(m + 1)} - \frac{m(m - 1)}{(m - 1)(m + 1)} \right] \cdot \frac{m^{2} - 1}{2m} $。|
(1)甲同学解法的依据是______,乙同学解法的依据是______。(填序号)
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律。
(2)请选择其中一名同学的做法,完成解答过程。我选择______同学。

答案：
(1)③ ②
(2)解:选择甲,计算如下:原式$=\frac{m}{m-1}\cdot\frac{m^2-1}{2m}-\frac{m}{m+1}\cdot\frac{m^2-1}{2m}$$=\frac{m}{m-1}\cdot\frac{(m+1)(m-1)}{2m}-\frac{m}{m+1}\cdot\frac{(m+1)(m-1)}{2m}$$=\frac{m+1}{2}-\frac{m-1}{2}=\frac{m+1-m+1}{2}=1$。选择乙,计算如下:原式$=[\frac{m(m+1)}{(m-1)(m+1)}-\frac{m(m-1)}{(m-1)(m+1)}]\cdot\frac{m^2-1}{2m}$$=\frac{m^2+m-m^2+m}{(m+1)(m-1)}\cdot\frac{(m+1)(m-1)}{2m}$$=1$。