《2025年同步练习册泰山出版社八年级数学上册青岛版》

2. 下列判断正确的是( )。

A.解分式方程必定产生增根
B.若分式方程的根为零,则必是增根
C.解分式方程必须验根
D.$x = 3是方程\frac{x}{x - 3} = 2 + \frac{1}{x - 3}$的根

答案： 2.C

3. 已知关于$y的方程\frac{k}{2 - y} - \frac{1}{y - 2} = 3的解为y = 1$,则实数$k$的值为( )。

A.$-3$
B.$3$
C.$-2$
D.$2$

答案： 3.D

4. 若关于$x的方程\frac{x - a}{x + 1} = -1$有增根,则$a$的值为( )。

A.$3$
B.$1$
C.$0$
D.$-1$

答案： 4.D

5. 关于$x的方程\frac{1}{x - 2} + \frac{m}{2 - x} = 1$无解,则$m$的值是( )。

A.$-1$
B.$1$
C.$0$
D.$2$

答案： 5.B

6. 若关于$x的方程\frac{ax}{x - 2} = \frac{4}{x - 2} + 1$无解,则$a$的值为( )。

A.$1$
B.$2$
C.$1或2$
D.$0或2$

答案： 6.C

7. 关于$x的方程\frac{x - 1}{x - 2} - \frac{x}{x + 1} = \frac{kx + 1}{(x - 2)(x + 1)}$。
(1)若$k = 0$,求这个方程的解；
(2)若这个方程有增根,求$k$的值。

答案： 7.解:
(1)当$k=0$时,原方程为$\frac {x-1}{x-2}-\frac {x}{x+1}=\frac {1}{(x-2)(x+1)}$,
方程两边同时乘$(x-2)(x+1)$,得$2x-1=1$,
解得$x=1$。
检验:当$x=1$时,$(x-2)(x+1)=-1×2=-2≠0$。
所以$x=1$是原方程的解。
(2)方程两边同时乘$(x-2)(x+1)$,得$2x-1=kx+1$。
原方程有增根,则$x-2=0$或$x+1=0$,
即$x=2$或$x=-1$。
代入整式方程得$4-1=2k+1$或$-2-1=-k+1$,
解得$k=1$或$k=4$。

8. “程,课程也,二物者二程,三物者三程,皆如物数程之,并列为行,故谓之方程。”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释。对于一些特殊的方程,我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解,则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解,则称这两个方程为“相伴方程”。
(1)判断一元一次方程$3 - 2(1 - x) = 4x与分式方程\frac{2x + 1}{2x - 1} - 1 = \frac{4}{4x^2 - 1}$是否是“相似方程”,并说明理由；
(2)已知关于$x$,$y的二元一次方程y = mx + 6与y = x + 4m$是“相伴方程”,求正整数$m$的值。

答案： 8.解:
(1)不是。理由:
解一元一次方程$3-2(1-x)=4x$,解得$x=\frac {1}{2}$。
解分式方程$\frac {2x+1}{2x-1}-1=\frac {4}{4x^{2}-1}$,解得$x=\frac {1}{2}$。
检验:当$x=\frac {1}{2}$时,$(2x+1)(2x-1)=0$。
所以原分式方程无解,
所以一元一次方程$3-2(1-x)=4x$与分式方程$\frac {2x+1}{2x-1}-1=\frac {4}{4x^{2}-1}$不是“相似方程”。
(2)由题意,两个方程有相同的整数解,即$mx+6=x+4m$,
所以$x=\frac {4m-6}{m-1}=\frac {4(m-1)-2}{m-1}=4-\frac {2}{m-1}$。
因为x为整数,
所以$m-1=1,2,-1,-2$。
所以$m=2,3,0,-1$。
又因为m取正整数,
所以$m=2$或3。