《2025年同步练习册泰山出版社八年级数学上册青岛版》

3. 解分式方程 $\frac{2}{x + 1}+\frac{3}{x - 1}= \frac{6}{x^{2}-1}$,分以下四步,其中错误的一步是( )。

A.两边同乘 $(x + 1)(x - 1)$
B.得整式方程 $2(x - 1)+3(x + 1)= 6$
C.解这个整式方程,得 $x = 1$
D.原方程的解为 $x = 1$

答案： D

4. 以下是小明同学解方程 $\frac{1 - x}{x - 3}= \frac{1}{3 - x}-2$ 的过程。
【解析】方程两边同时乘 $(x - 3)$,得 $1 - x= -1 - 2$,……第一步
解得 $x = 4$。 …………第二步
检验：当 $x = 4$,$x - 3= 4 - 3= 1\neq0$。 …第三步
所以原分式方程的解为 $x = 4$。 ………第四步
(1)小明的解法第一步是依据____进行变形的,从第____步开始出现错误；错误的原因是____。
(2)写出解方程 $\frac{1 - x}{x - 3}= \frac{1}{3 - x}-2$ 的正确过程。

答案：
(1)等式的基本性质 一 漏乘没有分母的项
(2)解:方程两边同时乘(x-3),得
1-x=-1-2(x-3),
解得x=4。
检验:当x=4时,x-3=4-3=1≠0。
所以x=4是原分式方程的解。

5. 解下列方程：
(1)$\frac{1}{2x}= \frac{3}{x - 5}$；
(2)$\frac{x}{x - 1}= 2-\frac{3}{2x - 2}$。

答案：
(1)x=-1
(2)x=$\frac{7}{2}$

6. 对于有理数 $a$,$b$,定义一种新运算“$*$”为 $a*b= \frac{1}{a - b^{2}}$,这里等式右边是有理数运算。例如：$1*3= \frac{1}{1 - 3^{2}}= -\frac{1}{8}$,则方程 $x*(-2)= \frac{2}{x - 4}-1$ 的解是( )。

A.$x = 4$
B.$x = 5$
C.$x = 6$
D.$x = 7$

答案： B

7. 观察：$\frac{1}{3}×\frac{1}{5}= \frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})$；
$\frac{1}{5}×\frac{1}{7}= \frac{1}{2}(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})$；
$\frac{1}{7}×\frac{1}{9}= \frac{1}{2}(\frac{1}{7}-\frac{1}{9})$；
…
(1)计算：$\frac{1}{3}×\frac{1}{5}+\frac{1}{5}×\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2023}×\frac{1}{2025}$；
(2)若 $\frac{1}{2}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{1}{6}+\frac{1}{6}×\frac{1}{8}+…+\frac{1}{n}×\frac{1}{n + 2}$ 的值是 $\frac{49}{200}$,求 $n$ 的值。

答案：
(1)$\frac{1}{3}×\frac{1}{5}+\frac{1}{5}×\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2023}×\frac{1}{2025}$
=$\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2023}-\frac{1}{2025})$
=$\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{2025})$
=$\frac{337}{2025}$。
(2)因为$\frac{1}{2}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{1}{6}+\frac{1}{6}×\frac{1}{8}+…+\frac{1}{n}×\frac{1}{n+2}$=
$\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2})$,
所以$\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2})=\frac{49}{200}$,
解得n=98。
经检验,n=98是原分式方程的根,
所以n=98。