《2025年同步练习册泰山出版社八年级数学上册青岛版》

7. 如图,在△ABC中,AB= AC,DE是过点A的直线,BD⊥DE于点D,CE⊥DE于点E。
(1)若B,C在DE的同侧(如图①所示),且AD= CE,求证：AB⊥AC。
(2)若B,C在DE的两侧(如图②所示),且AD= CE,其他条件不变,AB与AC仍垂直吗？若是,请给出证明；若不是,请说明理由。

答案：
(1)证明:因为BD⊥DE,CE⊥DE,所以∠ADB=∠AEC=90°。在Rt△ABD和Rt△CAE中,AB=AC,AD=CE,所以Rt△ABD≌Rt△CAE。所以∠DAB=∠ECA。因为∠EAC+∠ACE=90°,所以∠BAD+∠CAE=90°。所以∠BAC=180°-(∠BAD+∠CAE)=90°。所以AB⊥AC。
(2)解:AB⊥AC。理由:同
(1)一样可证得Rt△ABD≌Rt△CAE。所以∠DAB=∠ECA。因为∠CAE+∠ECA=90°,所以∠CAE+∠BAD=90°,即∠BAC=90°。所以AB⊥AC。