《2025年同步练习册泰山出版社八年级数学上册青岛版》

5. 计算：
(1)$(-\frac{x}{y})^2\cdot(-\frac{y^2}{x})^4$；
(2)$(\frac{x^2 - y^2}{xy})^2÷(x + y)^2\cdot(\frac{x}{x - y})^3$。

答案：
(1)$\frac{y^{6}}{x^{2}}$
(2)$\frac{x}{xy^{2}-y^{3}}$

6. 已知$\frac{b}{a}= \frac{4}{5}$,求$(\frac{a - b}{a})^{2025}\cdot(\frac{a}{b - a})^{2024}$的值。

答案： 解:原式$=\frac{a-b}{a}$。因为$\frac{b}{a}=\frac{4}{5}$,所以$b=\frac{4}{5}a$。所以,原式$=\frac{a-\frac{4}{5}a}{a}=\frac{1}{5}$。

7. 阅读下列材料：
关于$x的方程x^2 - 3x + 1 = 0$($x\neq0$),方程两边同时乘$\frac{1}{x}得x - 3 + \frac{1}{x}= 0$,即$x + \frac{1}{x}= 3$,$(x + \frac{1}{x})^2= x^2 + \frac{1}{x^2}+2\cdot x\cdot\frac{1}{x}= x^2 + \frac{1}{x^2}+2$,$x^2 + \frac{1}{x^2}= (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = 3^2 - 2 = 7$。根据以上材料,解答下列问题：
已知$x^2 - 4x + 1 = 0$($x\neq0$),
(1)求$x + \frac{1}{x}$的值；
(2)求$x^2 + \frac{1}{x^2}$,$x^4 + \frac{1}{x^4}$的值。

答案： 解:
(1)因为$x^{2}-4x+1=0(x\neq0)$,所以$x-4+\frac{1}{x}=0$。所以$x+\frac{1}{x}=4$。
(2)因为$x+\frac{1}{x}=4$,所以$(x+\frac{1}{x})^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2\cdot x\cdot\frac{1}{x}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2=16$。所以$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=14$。所以$(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})^{2}=x^{4}+\frac{1}{x^{4}}+2\cdot x^{2}\cdot\frac{1}{x^{2}}=x^{4}+\frac{1}{x^{4}}+2=196$。所以$x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=194$。