《2025年同步练习册泰山出版社八年级数学上册青岛版》

1. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
2. 角平分线上的点到角两边的距离相等。

答案： 答题卡：
1.
设线段$AB$，其垂直平分线为$l$，点$P$为$l$上任意一点。
根据线段垂直平分线的性质，若点$P$在线段$AB$的垂直平分线$l$上，则有$PA = PB$，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
2.
设角$\angle AOB$，其角平分线为$OC$，点$P$为$OC$上任意一点。
过点$P$分别向角两边$OA$、$OB$作垂线，垂足分别为$D$、$E$。
根据角平分线的性质，若点$P$在角$\angle AOB$的角平分线$OC$上，则有$PD = PE$，即角平分线上的点到角两边的距离相等。

1. 如图,在△ABC中,AF平分∠BAC,AC的垂直平分线交BC于点E,∠B= 70°,∠FAE= 19°,则∠C= ______。

答案： 24°

例2 如图,点E在△ABC的AC边的延长线上,点D在AB边上,DE交BC于点F,DF= EF,BD= CE。求证：△ABC是等腰三角形(提示：过点D作DG//AC交BC于点G)。

答案：
证明:如图,过点D作DG//AC交BC于点G，
因为DG//AC，
所以∠GDF=∠E,∠DGB=∠ACB。
在△GDF和△CEF中，
∠GDF=∠E,DF=EF,∠DFG=∠EFC，
所以△GDF≌△CEF(ASA)。
所以GD=CE。
因为BD=CE，
所以BD=GD。

所以∠B=∠DGB=∠ACB。
所以△ABC是等腰三角形。

过点D作DG//AC交BC于点G,从而构造出DF所在的△GDF与EF所在的△CEF全等,根据全等三角形的性质可得出GD= CE,结合BD= CE可得出BD= GD,进而可得出∠B= ∠DGB= ∠ACB,由此即可证出△ABC是等腰三角形。
也可以过点E作EG//AB交BC的延长线于点G,从而构造出DF所在的△BDF与EF所在的△GEF全等,进而得证。

答案： 设三角形ABC，D在AB上，E在AC上，D、E两点使BD = CE，F为BC中点（题目未明确给出，但从后续推理为使$\triangle BDF$与$\triangle CEF$全等或$\triangle BDF$与相关三角形全等，结合常见辅助线做法及后续逻辑可合理设定此条件，若题目原条件有其他合理设定可按实际），以下按此设定解题。
过点D作DG//AC交BC于点G。
因为$DG// AC$，所以$\angle GDF = \angle CEF$，$\angle DGF = \angle ECF$。
又因为$F$为$BC$中点，所以$BF = CF$。
在$\triangle GDF$和$\triangle CEF$中，
$\begin{cases}\angle GDF = \angle CEF\\\angle DGF = \angle ECF\\BF = CF\end{cases}$（这里$BF = CF$结合图形逻辑用于后续全等证明相关，实际在$\triangle GDF$和$\triangle CEF$全等证明中核心是角角边，$BF = CF$在构造全等及后续推理中起关键作用）
根据$AAS$（角角边）可得$\triangle GDF\cong\triangle CEF$，所以$GD = CE$。
已知$BD = CE$，所以$BD = GD$。
所以$\angle B = \angle DGB$。
因为$DG// AC$，所以$\angle DGB = \angle ACB$。
所以$\angle B = \angle ACB$，所以$AB = AC$，即$\triangle ABC$是等腰三角形。
过点E作$EG// AB$交$BC$的延长线于点$G$。
因为$EG// AB$，所以$\angle B = \angle G$，$\angle BDF = \angle GEF$。
又因为$F$为$BC$中点，所以$BF = CF$。
在$\triangle BDF$和$\triangle GEF$中，
$\begin{cases}\angle B = \angle G\\\angle BDF = \angle GEF\\BF = CF\end{cases}$
根据$AAS$可得$\triangle BDF\cong\triangle GEF$，后续可类似上述第一种方法推理得出$\triangle ABC$是等腰三角形。
综上，$\triangle ABC$是等腰三角形。

(1)通过作平行线构造全等三角形的方法。
(2)等角对等边。

答案： 假设题目为：求证：在三角形中，如果两个角相等，则它们所对的两边也相等（即等角对等边，并通过作平行线构造全等三角形的方法来证明）。
答题：
证明：
考虑三角形$\triangle ABC$，其中$\angle B = \angle C$。
为了证明$AB = AC$，可以经过点$A$作直线$EF$与$BC$平行，交$AB$于点$E$，交$AC$的延长线于点$F$。
由于$EF // BC$，根据平行线的性质，得到：
$\angle AEB = \angle B$ （同位角）
$\angle F = \angle C$ （同位角）。
由于已知$\angle B = \angle C$，所以$\angle AEB = \angle F$。
由于$\angle AEB$和$\angle F$是内错角且相等，根据等角对等边，在$\triangle AEF$中，得到$AE = AF$。
由于$\angle B = \angle AEB$，根据等腰三角形的性质，在$\triangle ABE$中，得到$AB = AE$。
同理，由于$\angle C = \angle F$，在$\triangle ACF$中，但因为$AF$是$AC$的延长线的一部分，且$AE = AF$，所以$AB = AC$。
综上，证明了在三角形中，如果两个角相等，则它们所对的两边也相等。

2. 如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC。求证：AD垂直平分EF。

答案： 证明:因为AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC，
所以DE=DF,∠AED=∠AFD=90°。
因为AD=AD，
所以Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)。
所以AE=AF。
所以点A在EF的垂直平分线上。
因为DE=DF，
所以点D在EF的垂直平分线上。
所以AD垂直平分EF。

例3 如图,在△ABC中,已知点O是边AB,AC的垂直平分线的交点。求证：∠BOC= 2∠BAC。

答案：
证明:连接AO并延长AO交BC于点F，
因为点O是边AB垂直平分线上的点，
所以OA=OB。
所以∠1=∠2。
因为∠3是△AOB的外角，
所以∠3=∠1+∠2=2∠1。
同理∠5=2∠4，
所以∠3+∠5=2∠1+2∠4=2(∠1+∠4)。
即∠BOC=2∠BAC。