《2025年同步练习册泰山出版社八年级数学上册青岛版》

4. 在下面的括号内填上适当的整式,使等式成立：
(1) $\frac{x}{y}= \frac{( )}{y^{2}}$；
(2) $\frac{2n}{m + 2}= \frac{( )}{3(m + 2)^{2}}$；
(3) $\frac{abc}{a^{3}}= \frac{bc}{( )}$；
(4) $\frac{(a + b)^{2}}{a^{2}-b^{2}}= \frac{a + b}{( )}$。

答案：
(1)$xy$
(2)$6mn+12n$
(3)$a^{2}$
(4)$a-b$

5. 将分式的分子与分母中各项系数化为整数,则 $\frac{a+\frac{1}{3}b}{\frac{2}{3}a+\frac{1}{2}b}= $______。

答案： $\frac{6a+2b}{4a+3b}$

6. 不改变分式的值,使下列各式的分子和分母的最高次项的系数成为正数。
(1) $\frac{2a + 3}{a - 2 - 3a^{3}}= $______；
(2) $\frac{-x^{2}-x - 1}{-4 - x - 3x^{2}}= $______。

答案：
(1)$-\frac{2a+3}{3a^{2}-a+2}$
(2)$\frac{x^{2}+x+1}{3x^{2}+x+4}$

7. 当 $ m $ 取何值时,等式 $\frac{x + 3}{2x - 1}= \frac{(x + 3)(3m + 2)}{(2x - 1)(7 - 2m)}$ 成立？

答案： 解：由题意得$3m+2=7-2m$，解得$m=1$。当$m=1$时，$3m+2=7-2m=5\neq0$，因此当$m=1$时，等式$\frac{x+3}{2x-1}=\frac{(x+3)(3m+2)}{(2x-1)(7-2m)}$成立。

8. 已知 $ a＞0,S_{1}= \frac{1}{a},S_{2}= -S_{1}-1,S_{3}= \frac{1}{S_{2}},S_{4}= -S_{3}-1,S_{5}= \frac{1}{S_{4}},…$,即当 $ n $ 为大于 1 的奇数时,$ S_{n}= \frac{1}{S_{n - 1}}$；当 $ n $ 为大于 1 的偶数时,$ S_{n}= -S_{n - 1}-1$,则 $ S_{2025}= $______。

答案： $-\frac{a}{a+1}$

9. 我们知道：分式和分数有着很多的相似点。如类比分数的基本性质,我们得到了分式的基本性质,等等。小学里,把分子比分母小的分数叫作真分数。类似地,我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式,反之,称为假分式。对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式,如 $\frac{x + 1}{x - 1}= \frac{x - 1 + 2}{x - 1}= \frac{x - 1}{x - 1}+\frac{2}{x - 1}= 1+\frac{2}{x - 1}$；$\frac{x^{2}+3}{x + 1}= \frac{x^{2}-1 + 4}{x + 1}= \frac{(x + 1)(x - 1)+4}{x + 1}= x - 1+\frac{4}{x + 1}$。
(1) 下列分式中,属于真分式的是______；
A. $\frac{x^{2}}{x - 1}$
B. $\frac{x - 1}{x + 1}$
C. $-\frac{3}{2x - 1}$
D. $\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}$
(2) 将假分式 $\frac{x - 1}{x + 2},\frac{m^{2}+2}{m + 1}$,化成整式和真分式的和的形式；
(3) 如果分式 $\frac{2x - 1}{x + 1}$ 的值是整数,求 $ x $ 的整数值。

答案：
(1)C
(2)$\frac{x-1}{x+2}=\frac{x+2-3}{x+2}=1-\frac{3}{x+2}$；$\frac{m^{2}+2}{m+1}=\frac{m^{2}-1+3}{m+1}=\frac{(m+1)(m-1)+3}{m+1}=m-1+\frac{3}{m+1}$。
(3)$-4,-2,2,0$。