《2025年全优方案夯实与提高七年级数学上册华师大版》

23. 数轴是一个非常重要的数学工具,它是“数形结合”的基础.若$P$为数轴上一动点,点$P表示的数记为a$,请你利用数轴解决以下问题：

(1)若点$P$与表示有理数2的点的距离是3个单位长度,则$a$的值为5或-1.
(2)若数轴上表示数$a的点位于-5$与2之间,则$\vert a - 2\vert+\vert a + 5\vert=$7.
(3)$\vert a + 4\vert+\vert a - 5\vert+\vert a - 1\vert+\vert a + 3\vert$的最小值是13.
(4)已知点$M$,$N$在数轴上,点$M表示的数是-1$,点$N$表示的数是3,令点$P在点N$左侧运动,在点$P$,$M$,$N$中,若其中一点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系,请直接写出此时点$P$所表示的数.
$\frac{5}{3}$或2或0或$\frac{1}{3}$或$-\frac{7}{3}$或-3或-13或-9

答案：
(1)5或-1
(2)7
(3)$|a+4|+|a-5|+|a-1|+|a+3|$的最小值,即数轴上的点P到表示-4,5,1,-3的点距离之和的最小值,所以当$-3\leqslant a\leqslant1$时,$|a+4|+|a-5|+|a-1|+|a+3|$的值最小,最小值为$a+4+5-a+1-a+a+3=13$.故答案为:13.
(4)因为点M表示的数是-1,点N表示的数是3,所以$MN=4$.当点P在线段MN上时,①$MN=3PN$,则$PN=\frac{1}{3}MN=\frac{4}{3}$,点P所表示的数为$3-\frac{4}{3}=\frac{5}{3}$;②$PM=3PN$,则$PN=\frac{1}{4}MN=1$,点P所表示的数为$3-1=2$;③$PN=3PM$,则$PM=\frac{1}{4}MN=1$,点P所表示的数为$-1+1=0$;④$MN=3PM$,则$PM=\frac{1}{3}MN=\frac{4}{3}$,点P所表示的数为$-1+\frac{4}{3}=\frac{1}{3}$.当点P在线段NM的延长线上时,⑤$MN=3PM$,则$PM=\frac{4}{3}$,点P所表示的数为$-1-\frac{4}{3}=-\frac{7}{3}$;⑥$PN=3PM$,则$PM=2$,点P所表示的数为$-1-2=-3$;⑦$PM=3MN$,则$PM=12$,点P所表示的数为$-1-12=-13$;⑧$PN=3MN$,则$PN=12$,点P所表示的数为$3-12=-9$.综上所述,点P所表示的数为$\frac{5}{3}$或2或0或$\frac{1}{3}$或$-\frac{7}{3}$或-3或-13或-9.