《2025年全优方案夯实与提高七年级数学上册华师大版》

22. (1)如图,$ A $,$ B $,$ C $是三个居住人口数量相同的住宅小区的大门所在位置,且$ A $,$ B $,$ C $三点共线,已知$ A B = 120 \mathrm { m } $,$ B C = 200 \mathrm { m } $,$ E $,$ F 分别是 A B $,$ B C $的中点,为了方便三个小区的居民出行,公交公司计划在点$ E 或点 F $处设一公交车停靠站点,为使从三个小区大门步行到公交车停靠点的路程之和最小,你认为公交车停靠点的位置应设在哪里？为什么？
(2)已知$ A $,$ B $,$ C $三点在同一条直线上,如果$ A B = a $,$ B C = b $,且$ a ＜ b $,求线段$ A B 和 B C 的中点 E $,$ F $之间的距离.

答案：
22.
(1)因为E,F分别是AB,BC的中点，AB=120m,BC=200m,所以AE=BE=60m,BF=CF=100m.若公交公司在点E处设一公交车停靠站点，则从三个小区大门步行到公交车停靠点的路程之和为:AE+BE+CE=60+60+(60+200)=380(m).若公交公司在点F处设一公交车停靠站点，则从三个小区大门步行到公交车停靠点的路程之和为:AF+BF+CF=(120+100)+100+100=420(m).因为380＜420,所以公交车停靠点的位置应该设在点E处.
(2)①如图1, 因为E,F分别是AB,BC的中点，所以EB=$\frac{1}{2}$AB,BF=$\frac{1}{2}$BC.又因为EF=EB+BF,所以EF=$\frac{1}{2}$(AB+BC)=$\frac{1}{2}$(a+b).②如图2, 此时FB=$\frac{1}{2}$b,EB=$\frac{1}{2}$a,EF=FB−EB=$\frac{1}{2}$(b−a).

23. 定义：从一个角的顶点出发,把这个角分成$ 1 : 2 $的两个角的射线,叫做这个角的三分线,显然,一个角的三分线有两条. 例如：如图$ 1 $,若$ \angle B O C = 2 \angle A O C $,则$ OC 是 \angle A O B $的一条三分线.
(1)如图$ 1 $,$ OC 是 \angle A O B $的一条三分线,且$ \angle B O C ＞ \angle A O C $,若$ \angle A O B = 60 ^ { \circ } $,求$ \angle A O C $的度数.
(2)已知$ \angle A O B = 90 ^ { \circ } $,如图$ 2 $,若$ OC $,$ OD 是 \angle A O B $的两条三分线.
①求$ \angle C O D $的度数.
②现以点$ O $为中心,将$ \angle C O D 顺时针旋转 n ^ { \circ } 得到 \angle C ^ { \prime } O D ^ { \prime } $,当$ OA 恰好是 \angle C ^ { \prime } O D ^ { \prime } $的三分线时,求$ n $的值.

答案：
23.
(1)因为OC是∠AOB的一条三分线，且∠BOC＞∠AOC,所以∠AOC=$\frac{1}{3}$∠AOB.又因为∠AOB=60°,所以∠AOC=20°.
(2)①如图1,因为∠AOB=90°,OC,OD是∠AOB 的两条三分线，所以∠COD=$\frac{1}{3}$∠AOB=30°. ②分两种情况:如图2,当OA是∠C'OD'的三分线，且∠AOD'＞∠AOC'时，∠AOC'=$\frac{1}{3}$∠C'OD'=$\frac{1}{3}$∠COD=10°,所以∠DOC'=∠DOA−∠AOC'=30°−10°=20°.所以∠DOD'=∠DOC'+∠C'OD'=20°+30°=50°.如图3,当OA是∠C'OD'的三分线，且∠AOD'＜∠AOC'时，∠AOC'=$\frac{2}{3}$∠C'OD'=$\frac{2}{3}$∠COD=20°,所以∠DOC'=∠DOA−∠AOC'=30°−20°=10°.所以∠DOD'=∠DOC'+∠C'OD'=10°+30°=40°.综上所述,n=40或50.