《2025年全优方案夯实与提高七年级数学上册华师大版》

13. 【宜昌】已知 M,N,P,Q 四点的位置如图,下列结论中正确的是(C)。

A.$ \angle NOQ = 42^{\circ} $
B.$ \angle NOP = 132^{\circ} $
C.$ \angle PON $ 比 $ \angle MOQ $ 大
D.$ \angle MOQ $ 与 $ \angle MOP $ 互补

答案： C

14. 如图,已知 $ \angle AOB $ 是直角,$ \angle AOC $ 是锐角,ON 平分 $ \angle AOC $,OM 平分 $ \angle BOC $,则 $ \angle MON $ 的度数是(A)。

A.$ 45^{\circ} $
B.$ 45^{\circ} + \frac{1}{2}\angle AOC $
C.$ 60^{\circ} - \frac{1}{2}\angle AOC $
D.不能计算

答案： A

15. 如果两个角的差的绝对值等于 $ 90^{\circ} $,就称这两个角互为垂角,例如：$ \angle 1 = 120^{\circ} $,$ \angle 2 = 30^{\circ} $,$ |\angle 1 - \angle 2| = 90^{\circ} $,则 $ \angle 1 $ 和 $ \angle 2 $ 互为垂角。
(1)如图 1,O 为直线 AB 上一点,$ \angle AOC = 90^{\circ} $,$ \angle DOE = 90^{\circ} $,直接指出图中所有互为垂角的角。
(2)若一个角的垂角等于这个角的补角的 $ \frac{2}{3} $,求这个角的度数。
(3)如图 2,O 为直线 AB 上一点,$ \angle AOC = 75^{\circ} $,将整个图形绕点 O 逆时针旋转 $ n^{\circ}(0 ＜ n ＜ 90) $,直线 AB 旋转到 $ A'B' $,OC 旋转到 $ OC' $,作射线 OP,使 $ \angle BOP = \angle BOB'(OP $ 不与 $ OB' $ 重合)。当 n 为何值时,$ \angle A'OP $ 与 $ \angle AOC' $ 互为垂角？

答案：
(1)互为垂角的角有4对:∠EOB与∠DOB,∠EOB与∠EOC,∠AOD与∠COD,∠AOD与∠AOE.
(2)设这个角的度数为x°,则①当0＜x＜90时,它的垂角是(90+x)°,由题意得90+x=$\frac{2}{3}$(180-x),解得x=18.②当90＜x＜180时,它的垂角是(x-90)°,由题意得x-90=$\frac{2}{3}$(180-x),解得x=126.综上所述,这个角的度数为18°或126°.
(3)当n=75时OC'和OA重合,分两种情况:①当0＜n＜75时,∠COC'=n°,∠AOC'=75°-n°,∠POB=∠BOB'=∠AOA'=n°,∠A'OP=180°-(∠POB+∠BOB')=180°-2n°,因为∠A'OP与∠AOC'互为垂角,所以|(180-2n)-(75-n)|=90,解得n=15或195.因为0＜n＜75,所以n=15.②当75＜n＜90时,∠AOC'=n°-75°,∠POB=∠BOB'=n°,∠A'OP=180°-(∠POB+∠BOB')=180°-2n°,因为∠A'OP与∠AOC'互为垂直,所以|(180-2n)-(n-75)|=90,解得n=55或115.因为75＜n＜90,所以n=55或115都不符合.综上所述,当n=15时,∠A'OP与∠AOC'互为垂角.