《2025年全优方案夯实与提高七年级数学上册华师大版》

15. 问题：你能比较$2024^{2025}$和$2025^{2024}$的大小吗？解决这个问题,首先要写出它的一般形式,即比较$n^{n + 1}$和$(n + 1)^{n}$的大小(n是正整数),然后我们从分析n = 1,n = 2,n = 3,…这些简单的情况入手,从中发现规律,经过归纳,猜想得出结论。
(1)通过计算,比较下列各组数的大小(填“＞”“＜”或“=”)：
$1^{2}$＜$2^{1}$,$2^{3}$＜$3^{2}$,$3^{4}$＞$4^{3}$,$4^{5}$＞$5^{4}$,$5^{6}$＞$6^{5},$…
(2)将(1)的结果进行归纳,可以猜想出$n^{n + 1}$和$(n + 1)^{n}$的大小关系是什么？
当$n\leqslant2$时,$n^{n+1}＜(n+1)^n$,当$n＞2$时,$n^{n+1}＞(n+1)^n$.
(3)根据上面的归纳猜想,尝试比较$2024^{2025}$和$2025^{2024}$的大小。
因为2024＞2,所以$2024^{2025}＞2025^{2024}$.

答案：
(1)＜ ＜ ＞ ＞ ＞
(2)当$n\leqslant2$时,$n^{n+1}＜(n+1)^n$,
当$n＞2$时,$n^{n+1}＞(n+1)^n$.
(3)因为2024＞2,所以$2024^{2025}＞2025^{2024}$.

16. 算式$2^{2}×5^{3}$的值是(C)。
A.$30$
B.$90$
C.$1000$
D.$1000000$

答案： C

17. 【茂名】为了求$1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + … + 3^{100}$的值,可令$M = 1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + … + 3^{100}$,则$3M = 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + … + 3^{101}$,因此,$3M - M = 3^{101} - 1$,所以$M = \dfrac{3^{101} - 1}{2}$,即$1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + … + 3^{100} = \dfrac{3^{101} - 1}{2}$。仿照以上推理计算：$1 + 5 + 5^{2} + 5^{3} + … + 5^{2015}$的值是$\frac{5^{2016}-1}{4}$。

答案： $\frac{5^{2016}-1}{4}$

18. 我们平时用的是十进制数,例如：$204958 = 2×10^{5} + 0×10^{4} + 4×10^{3} + 9×10^{2} + 5×10 + 8×1$,表示十进制数要用10个数字：$0$,$1$,$2$,…$$,$9$。在电子计算机中使用的是二进制数,只用两个数字：$0$,$1$。例如：在二进制中,$1101 = 1×2^{3} + 1×2^{2} + 0×2^{1} + 1×1$等于十进制中的13,$110011 = 1×2^{5} + 1×2^{4} + 0×2^{3} + 0×2^{2} + 1×2 + 1×1$,等于十进制中的51。
(1)二进制中的数110101等于十进制中的哪一个数？
(2)仿照二进制的说明与算法,请你计算一下,八进制中的数1507等于十进制中的哪一个数？

答案：
(1)在二进制中,$110101 = 1×2^{5} + 1×2^{4} + 0×2^{3} + 1×2^{2} + 0×2 + 1×1 = 53$,所以二进制中的数110101等于十进制中的53.
(2)在八进制中,$1507 = 1×8^{3} + 5×8^{2} + 0×8 + 7×1 = 839$,所以八进制中的数1507等于十进制中的839.