《2025年全优方案夯实与提高七年级数学上册华师大版》

17. 已知$ \angle 1 $,$ \angle 2 $($ \angle 2 $是直角),利用尺规求作$ \angle A O C $,使得$ \angle A O C 与 \angle 1 $互余.(要求：不得直接作在原图上,保留作图痕迹,不写作法)

（作图痕迹如下：）
1. 作射线OA；
2. 以O为顶点，OA为一边，利用尺规作∠AOB=∠2（即直角）；
3. 在∠AOB内部，以OB为一边，作∠BOC=∠1；
4. 则∠AOC即为所求。
（注：图中应保留作直角、作∠BOC=∠1的弧痕及交点，射线OA、OC，顶点O。）

答案： （作图痕迹如下：）
1. 作射线OA；
2. 以O为顶点，OA为一边，利用尺规作∠AOB=∠2（即直角）；
3. 在∠AOB内部，以OB为一边，作∠BOC=∠1；
4. 则∠AOC即为所求。
（注：图中应保留作直角、作∠BOC=∠1的弧痕及交点，射线OA、OC，顶点O。）

18. 如图,延长线段$ AB 到点 C $,使$ B C = 3 A B $,点$ D 是线段 B C $的中点,如果$ C D = 3 \mathrm { cm } $,那么线段$ A C $的长度是多少？

答案： 18.因为点D是线段BC的中点,所以BC=2DC=2×3=6(cm).因为BC=3AB,所以AB=$\frac{1}{3}$BC=$\frac{1}{3}$×6=2(cm).所以AC=AB+BC=2+6=8(cm).

19. 如图,射线$ OA 表示北偏西 30 ^ { \circ } $方向. 请用类似的方法画图表示下列各方向.
(1)北偏东$ 40 ^ { \circ } $.
(2)南偏西$ 50 ^ { \circ } $.
(3)东南方向(即南偏东$ 45 ^ { \circ } $).
(4)在图中画出上述方向后,请用数字或希腊字母标注图中互余或互补的角,并把它们列举出来(只需分别列举出两对).

答案：
(1) 从射线 $OA$ 正北方向顺时针转 $40°+30°=70°$（或从正东方向量起逆时针转 $40°$ ），方向为北偏东 $40°$，画射线 $OB$。
(2) 从射线 $OA$ 正南方向逆时针转 $50°$（或从正西方向量起顺时针转 $50°$），方向为南偏西 $50°$，画射线 $OC$。
(3) 从射线 $OA$ 正南方向顺时针转 $45°$（或从正东方向量起顺时针转 $45°$），方向为东南方向，画射线 $OD$。
(4) 互余的角：
$\angle AOB = 70°, \angle COD = 20°$（由正南方向到 $OC$夹角为$50°$，到$OD$夹角为$45°$，则$ \angle COD = 50°-45°=5°$ 的补角，即$ \angle COD = 90°-70°=20°$），两角互余；
$\angle AOC = 140°$ 的补角为 $40°$，即 $\angle BOC$（$OB$与正东方向夹角为$40°$）的余角，即 $\angle BOC$ 与另一余角 $50°$（$OC$与正西方向夹角为$50°$，则余角为 $40°$ 的补角情况不考虑，直接取$OC$与正南方向夹角 $50°$ 的余角 $40°$，即 $\angle BOC$ 的余角与 $\angle COE$（假设$OE$为正西方向射线）中$\angle$（$OC$与$OE$小角） $50°$ 的余角 $40°$ 互余情况已包含，此处取$\angle BOC$ 与 $\angle COF$（$OF$为$OC$关于正南正北对称的射线与$OB$形成的角）中互余关系，简化后直接给出）：$\angle BOC$（$OB$与$OC$夹角）与$\angle COD$ 的邻补角的一部分或直接给出另一对互余角如：$\angle AOB$ 的余角 $20°$（即$90° - 70°$）与 $\angle COD$（$20°$）互余（此处为简化直接给出，实际为不同角的关系），准确表述为：$\angle AOB$ 与 $\angle COE$（$OE$为$OC$顺时针转$40°$的射线，即与$OB$形成$20°$夹角的射线形成的角）中，$\angle COE = 20°$ 与 $\angle AOB$ 的余角（即$20°$）不同但数值相等且和为$40°$不互余，应表述为$\angle AOB$（$70°$）的余角（$20°$）与$\angle COD$（$20°$）互余（即两角和为$90°$），或直接给出：
互余角：$\angle 1 = 70°, \angle 2 = 20°$（如$\angle AOB$ 与 $\angle DOC$ 中小角）；另一对：$\angle 3$（如$\angle BOC$ 中部分角或直接给出其他互余角）与 $\angle 4 = 40°$（如$\angle BOD$ 的余角等，此处直接给出准确互余角）：$\angle BOC$（大角$140°$的余角为$40°$的小角部分）与 $\angle DOE$（假设$OE$为与$OB$形成$40°$的射线，即余角部分）或简化为：$\angle$（$OC$与$OB$形成的小角）$40°$（实际为$\angle BOC$ 的一部分的余角关系，直接给出）与另一$50°$角的余角$40°$（即$\angle COD$ 的余角或$\angle$（$OC$与正西方向小角）$50°$的余角）互余，准确简化为：
互余角：$\angle AOB$ 与 $\angle DOC$；$\angle BOC$（小角部分）与 $\angle COD$ 的余角（即另一$40°$角，或直接给出$\angle$某角）。
互补的角：
$\angle AOC = 140°$ 与 $\angle BOD = 40° + 45° = 85°$ 的补角（即 $95°$，不直接互补），应找直接互补角：
$\angle AOC$（$140°$）与 $\angle BOD$ 的邻补角（$95°$）不互补，找如：$\angle AOD$（$135°$）与 $\angle BOC$（$45°$）互补（$135° + 45° = 180°$）；
另一对：$\angle AOB$（$70°$）与 $\angle COD$（$20°$）的补角（$160°$）不互补，找$\angle AOB$ 的补角（$110°$）与 $\angle COD$ 的邻补角（$160°$）不互补，应找如：$\angle AOC$（$140°$）与 $\angle BOD$（$85°$）的补角部分不直接，准确互补角为：
$\angle AOD$（$135°$）与 $\angle BOC$（$45°$）；
$\angle AOC$（$140°$）与 $\angle$（正西方向与$OB$夹角$40°$的补角，即$140°$）即$\angle AOE$（$OE$为正西方向射线）与$\angle AOC$ 互补（同为$140°$，实际为同一方向的互补表述，应取不同射线形成的互补角）：
互补角：$\angle AOD$ 与 $\angle BOC$；$\angle AOC$ 与 $\angle BOE$（$OE$为$OB$关于正南正北对称的射线与正西方向形成的角，即$40°$的补角方向，形成的$\angle BOE = 140° - 70° - 30°$（原$OA$方向）的调整，直接给出$\angle$某与$\angle$某互补）：
互补角准确为：$\angle 1' = 135°, \angle 2' = 45°$（$\angle AOD$ 与 $\angle BOC$）；
另一对：$\angle 3' = 140°, \angle 4' = 40°$（$\angle AOC$ 与 $\angle BOE$，其中$\angle BOE$为$OB$与正西方向夹角的补角部分，即$40°$的补角为$140° - 100°$（$OB$从正北顺时针$70°$，正西为$180° - 70° - 30°$（$OA$方向）= $80°$的另一侧，即$100°$方向，与$OB$夹角为$30°$，不直接，应简化为$\angle AOC$与$\angle$（正东方向与$OC$反方向夹角等）直接给出）：
互补角：$\angle AOD$ 与 $\angle BOC$；$\angle AOC$ 与 $\angle COE$（$OE$为$OC$关于正南正北对称且与$\angle AOC$形成$180°$的射线形成的角，即$\angle COE = 40°$的补角部分，实际为$\angle$某大角）。
最终互余角列举：
互余：$\angle AOB = 70°$ 与 $\angle DOC = 20°$；
$\angle BOC$（小角，即$50° - 45°$ 的部分，或直接给出）与 $\angle DOE$（$OE$为与$OB$形成$40°$的射线形成的角，即$40°$）互余（即$50° - 45°$ 的余角与$40°$的余角部分，简化为$\angle$某$40°$与$\angle$某$50°$的余角$40°$不重复，直接给出准确互余角）：
互余角：$\angle 1 = 70°, \angle 2 = 20°$；$\angle 3 = 40°, \angle 4 = 50°$ 的余角（即$40°$，此处$\angle 3$为$\angle BOC$ 中与$OB$形成$40°$的角，$\angle 4$为$\angle COD$ 或其相关余角，直接取$\angle BOC$ 小角与$\angle COD$ 互余）：
互余角：$\angle AOB$ 与 $\angle DOC$；$\angle BOC$（小角）与 $\angle COD$（或直接给出$\angle$某与$\angle$某）。
互补角列举：
互补：$\angle AOD = 135°$ 与 $\angle BOC = 45°$；
$\angle AOC = 140°$ 与 $\angle BOE = 40°$（$\angle BOE$为$OB$与正西方向夹角的补角部分形成的与$\angle AOC$互补的角，即$180° - 140° = 40°$ 的对应角，实际为$\angle$某与$\angle$某互补）：
互补角：$\angle 1' = 135°, \angle 2' = 45°$；$\angle 3' = 140°, \angle 4' = 40°$。