《2025年全优方案夯实与提高七年级数学上册华师大版》

21. 定义一种新运算,观察下列各式：
①$1\odot3 = 1×4 + 3 = 7$；②$3\odot( - 1)= 3×4 - 1 = 11$；
③$5\odot4 = 5×4 + 4 = 24$；④$4\odot( - 3)= 4×4 - 3 = 13$.
(1)请你想一想：$a\odot b=$$4a+b$.
(2)若$a\neq b$,则$a\odot b$$\neq$$b\odot a$.(填“$=$”或“$\neq$”)
(3)若$a\odot( - 2b)= 3$,请计算$(a - b)\odot(2a + b)$的值.
因为$a\odot (-2b)=3$,所以$4a-2b=3$.所以$2a-b=1.5$.所以$(a-b)\odot (2a+b)=4(a-b)+(2a+b)=6a-3b=3(2a-b)=4.5$.

答案：
(1)$4a+b$
(2)≠
(3)因为$a\odot (-2b)=3$,所以$4a-2b=3$.所以$2a-b=1.5$.所以$(a-b)\odot (2a+b)=4(a-b)+(2a+b)=6a-3b=3(2a-b)=4.5$.

22. 完成下列填空：
(1)已知$a_{1}= \frac{1}{1×2×3}+\frac{1}{2}= \frac{2}{3}$,$a_{2}= \frac{1}{2×3×4}+\frac{1}{3}= \frac{3}{8}$,$a_{3}= \frac{1}{3×4×5}+\frac{1}{4}= \frac{4}{15}$,…,依据上述规律,则$a_{99}=$$\frac{1}{99×100×101}+\frac{1}{100}$$=$$\frac{100}{9999}$.
(2)有若干张边长都是2的四边形纸片和三角形纸片,从中取一些纸片按如图所示的顺序拼接起来(排在第一位的是四边形),可以组成一个大的平行四边形或一个大的梯形.如果所取的四边形与三角形纸片数的和是5,那么组成的大平行四边形或梯形的周长是20；如果所取的四边形与三角形纸片数的和是$n$,那么组成的大平行四边形或梯形的周长是$3n+5$(n为奇数)或$3n+4$(n为偶数).
(3)下面是按一定规律排列的一列数：
第1个数：$\frac{1}{2}-(1+\frac{-1}{2})$；
第2个数：$\frac{1}{3}-(1+\frac{-1}{2})[1+\frac{( - 1)^{2}}{3}][1+\frac{( - 1)^{3}}{4}]$；
第3个数：$\frac{1}{4}-(1+\frac{-1}{2})[1+\frac{( - 1)^{2}}{3}][1+\frac{( - 1)^{3}}{4}][1+\frac{( - 1)^{4}}{5}][1+\frac{( - 1)^{5}}{6}]$；
……
则第$n$个数为$\frac{1}{n+1}-\left(1+\frac{-1}{2}\right)\left[1+\frac{(-1)^2}{3}\right]\left[1+\frac{(-1)^3}{4}\right]\cdots\left[1+\frac{(-1)^{2n-1}}{2n}\right]$.

答案：
(1)$\frac{1}{99×100×101}+\frac{1}{100}$ $\frac{100}{9999}$
(2)20 $3n+5$(n为奇数)或$3n+4$(n为偶数)
(3)$\frac{1}{n+1}-\left(1+\frac{-1}{2}\right)\left[1+\frac{(-1)^2}{3}\right]\left[1+\frac{(-1)^3}{4}\right]\cdots\left[1+\frac{(-1)^{2n-1}}{2n}\right]$