《2025年全优方案夯实与提高七年级数学上册华师大版》

15. 观察下列各式,找出其中的规律,再回答问题。
$1 - \frac{1}{2^{2}} = \frac{1}{2}×\frac{3}{2},1 - \frac{1}{3^{2}} = \frac{2}{3}×\frac{4}{3},1 - \frac{1}{4^{2}} = \frac{3}{4}×\frac{5}{4},…(1) $根据上述规律填空：$1 - \frac{1}{100^{2}} = $$\frac{99}{100}×\frac{101}{100}$,$1 - \frac{1}{2024^{2}} = $$\frac{2023}{2024}×\frac{2025}{2024}$。(2) 用你发现的规律计算：$(1 - \frac{1}{2^{2}})×(1 - \frac{1}{3^{2}})×(1 - \frac{1}{4^{2}})×…×(1 - \frac{1}{2024^{2}})$。
原式$=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\dots×\frac{2023}{2024}×\frac{2025}{2024}=\frac{2025}{4048}$

答案：
(1)$\frac{99}{100}×\frac{101}{100}$ $\frac{2023}{2024}×\frac{2025}{2024}$
(2)原式$=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\dots×\frac{2023}{2024}×\frac{2025}{2024}=$ $\frac{2025}{4048}$.

16. 【巴中】定义运算：若$a^{m} = b$,则$\log_{a}b = m(a ＞ 0)$,例如：$2^{3} = 8$,则$\log_{2}8 = 3$。运用以上定义,计算$\log_{5}125 - \log_{3}81$等于(A)。
A.$-1$
B.$2$
C.$1$
D.$44$

答案： A

17. 【厦门】已知$(39 + \frac{8}{13})×(40 + \frac{9}{13}) = a + b$,若$a$是整数,$1 ＜ b ＜ 2$,则$a = $1611。

答案： 1611

18. 请你研究以下分析过程,并尝试解答下列问题。
$1^{3} = 1 = 1^{2}；$
$1^{3} + 2^{3} = 9 = 3^{2} = (1 + 2)^{2}；$
$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} = 36 = 6^{2} = (1 + 2 + 3)^{2}；$
$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3} = 100 = 10^{2} = (1 + 2 + 3 + 4)^{2}；$
···
(1) $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + … + 10^{3} = ($$1+2+3+\dots+10$$)^{2} = $3025。
(2) $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + … + 20^{3} = ($$1+2+3+\dots+20$$)^{2} = $44100。
(3)$ 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + … + n^{3} = ($$1+2+3+\dots+n$$)^{2} = $$\frac{n^2(n+1)^2}{4}$。
(4) 求$11^{3} + 12^{3} + 13^{3} + … + 20^{3}$的值。
原式$=1^3+2^3+3^3+\dots+20^3-(1^3+2^3+3^3+\dots+10^3)=44100-3025=41075$

答案：
(1)$1+2+3+\dots+10$ 3025
(2)$1+2+3+\dots+20$ 44100
(3)$1+2+3+\dots+n$ $\frac{n^2(n+1)^2}{4}$
(4)原式$=1^3+2^3+3^3+\dots+20^3-(1^3+2^3+3^3+\dots+10^3)=44100-3025=41075$.