《2025年长江全能学案同步练习册七年级数学上册人教版》

例1 一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶,用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶,用了2.5小时.已知船在静水中的平均速度为27千米/时,求水流的速度.
【思路导析】顺流速度= 静水速度+水流速度,逆流速度= 静水速度-水流速度.本题的等量关系为：顺流航程= 逆流航程.

答案： 解：设水流的速度为$x$千米/时。
顺流速度为$(27 + x)$千米/时，逆流速度为$(27 - x)$千米/时。
根据顺流航程 = 逆流航程，可得：
$2(27 + x) = 2.5(27 - x)$
去括号：$54 + 2x = 67.5 - 2.5x$
移项：$2x + 2.5x = 67.5 - 54$
合并同类项：$4.5x = 13.5$
系数化为1：$x = 3$
答：水流的速度为3千米/时。

例2 某服装厂车间有工人54人,每人每天可加工上衣8件或裤子10条,应怎样分配人数,才能使每天生产的上衣和裤子配套？
【思路导析】本题的等量关系为：上衣件数= 裤子条数.

答案： 设做上衣的工人数为$x$人，那么做裤子的工人数为$54 - x$人。
根据题意，每人每天可加工上衣8件，所以$x$人每天可加工上衣$8x$件；
每人每天可加工裤子10条，所以$54 - x$人每天可加工裤子$10(54 - x)$条。
为了使上衣和裤子配套，我们需要有：
$8x = 10(54 - x)$
展开并整理得：
$8x = 540 - 10x$
$18x = 540$
$x = 30$
所以，做上衣的工人数为30人，做裤子的工人数为$54 - 30 = 24$人。
答：应安排30人做上衣，24人做裤子，才能使每天生产的上衣和裤子配套。

例3 甲、乙两列火车的长分别为144米和180米,甲车比乙车每秒多行4米.两列火车相向而行,从相遇到完全错开需9秒,问：两车的速度各是多少？
【思路导析】相向而行的两车错车时,甲车走的路+乙车走的路= 甲车长+乙车长.
【规范解答】设乙的速度为x米/秒,则甲车的速度为(x+4)米/秒.
依题意,得9x+9(x+4)= 180+144.
去括号,得9x+9x+36= 180+144.
移项、合并同类项,得18x= 288.
系数化为1,得x= 16.
x+4= 20.
答：甲车的速度为20米/秒,乙车的速度为16米/秒.
变式探究
在例3的条件下,若两车同向而行,甲车的车头从乙车的车尾追及到甲车完全超过乙车,需要多少秒？

答案： 设乙车的速度为$x$米/秒，则甲车的速度为$(x + 4)$米/秒。
依题意，得$9x + 9(x + 4)=144 + 180$。
去括号，得$9x + 9x + 36=324$。
移项、合并同类项，得$18x=288$。
系数化为$1$，得$x = 16$。
$x + 4=16 + 4=20$。
答：甲车的速度为$20$米/秒，乙车的速度为$16$米/秒。
解：设需要$y$秒。
已知甲车速度为$20$米/秒，乙车速度为$16$米/秒。
同向而行时，甲车从乙车车尾追及到完全超过乙车，那么甲车比乙车多行驶的路程为甲车长 + 乙车长，即$144 + 180$米。
根据路程差$=$速度差$×$时间，可列方程：
$(20 - 16)y=144 + 180$
$4y = 324$
$y=\frac{324}{4}=81$
答：需要$81$秒。