《2025年长江全能学案同步练习册七年级数学上册人教版》

7. 根据下列问题,设未知数,列出方程.
(1)小明和小强一起看书,小强看了400页,他看的页数是小明的2倍少60页,求小明看了多少页；
(2)小辉和小军参加植树活动,两人共植树100棵,其中小辉比小军多植了10棵树,小辉植了多少棵树？
(3)一件夹克衫先按成本价提高50%标价,再将标价打8折售出,结果获利28元,求这件夹克衫的成本价.

答案：
(1)设小明看了$x$页，根据题意得：$2x - 60 = 400$
(2)设小辉植了$y$棵树，则小军植了$(y - 10)$棵树，根据题意得：$y + (y - 10) = 100$
(3)设这件夹克衫的成本价为$z$元，根据题意得：$(1 + 50\%)z × 80\% - z = 28$

8. (1)$x = - \frac{3}{2}$,$x = 3是方程\frac{5x + 1}{8} = x - 1$的解吗？
(2)$y = - 10$,$y = 10是方程2(y - 2) - 9(1 - y) = 3(4y - 1)$的解吗？

答案：
(1)
对于方程$\frac{5x + 1}{8} = x - 1$，
当$x = -\frac{3}{2}$时，
左边$=\frac{5×(-\frac{3}{2})+1}{8}=\frac{-\frac{15}{2}+1}{8}=\frac{-\frac{13}{2}}{8}=-\frac{13}{16}$，
右边$=-\frac{3}{2}-1=-\frac{5}{2}$，
因为左边$\neq$右边，所以$x = -\frac{3}{2}$不是方程的解。
当$x = 3$时，
左边$=\frac{5×3 + 1}{8}=\frac{16}{8}=2$，
右边$=3 - 1=2$，
因为左边$=$右边，所以$x = 3$是方程的解。
(2)
对于方程$2(y - 2)-9(1 - y)=3(4y - 1)$，
当$y = - 10$时，
左边$=2×(-10 - 2)-9×(1 + 10)=2×(-12)-9×11=-24 - 99=-123$，
右边$=3×[4×(-10)-1]=3×(-41)=-123$，
因为左边$=$右边，所以$y = - 10$是方程的解。
当$y = 10$时，
左边$=2×(10 - 2)-9×(1 - 10)=2×8-9×(-9)=16 + 81=97$，
右边$=3×(4×10 - 1)=3×39=117$，
因为左边$\neq$右边，所以$y = 10$不是方程的解。
综上，
(1)$x = -\frac{3}{2}$不是方程$\frac{5x + 1}{8} = x - 1$的解，$x = 3$是方程$\frac{5x + 1}{8} = x - 1$的解；
(2)$y = - 10$是方程$2(y - 2)-9(1 - y)=3(4y - 1)$的解，$y = 10$不是方程$2(y - 2)-9(1 - y)=3(4y - 1)$的解。

9. 已知方程$3x^{|n - 2| - 3} - 3x^{2} + (n + 3)x - 2 = 0是关于x$的一元一次方程($n$为常数).
(1)求$n$的值；
(2)判断$x = 5$,$x = \frac{1}{5}$,$x = - \frac{1}{5}$是否是该方程的解.

答案：
(1)因为方程是关于$x$的一元一次方程，所以二次项必须消去，且只含一次项和常数项。原方程中第二项为$-3x^2$，故第一项$3x^{|n - 2| - 3}$必为$3x^2$，与第二项合并后二次项系数为$3 - 3 = 0$。则$|n - 2| - 3 = 2$，即$|n - 2| = 5$，解得$n = 7$或$n = -3$。当$n = -3$时，一次项系数$n + 3 = 0$，方程变为$-2 = 0$，不合题意，舍去；当$n = 7$时，一次项系数$7 + 3 = 10 ≠ 0$，方程为$10x - 2 = 0$，符合题意，故$n = 7$。
(2)方程为$10x - 2 = 0$。当$x = 5$时，左边$= 10×5 - 2 = 48 ≠ 0$，不是解；当$x = \frac{1}{5}$时，左边$= 10×\frac{1}{5} - 2 = 0$，是解；当$x = -\frac{1}{5}$时，左边$= 10×(-\frac{1}{5}) - 2 = -4 ≠ 0$，不是解。
(1)$n = 7$；
(2)$x = \frac{1}{5}$是解，$x = 5$、$x = -\frac{1}{5}$不是解。

10. 已知关于$x的方程3a - x = \frac{x}{2} + 3的解是x = 4$,求$a^{2} - 2a$的值.

答案： 把$x = 4$代入方程$3a - x = \frac{x}{2} + 3$中，
得$3a - 4 = \frac{4}{2} + 3$，
即$3a - 4 = 2 + 3$，
$3a - 4 = 5$，
$3a=5 + 4$，
$3a = 9$，
解得$a = 3$。
把$a = 3$代入$a^{2} - 2a$得：
$a^{2} - 2a=3^{2}-2×3$
$=9 - 6$
$= 3$
综上，$a^{2} - 2a$的值为$3$。

11. 先列方程,再估算出方程的解.
HB型铅笔每支0.3元,2B型铅笔每支0.5元,小芳有4元钱,买了两种铅笔共10支,还剩0.2元.两种铅笔各买了多少支？
解：设买了HB型铅笔$x$支,则买了2B型铅笔$(10 - x)$支,买HB型铅笔用了$0.3x$元,买2B型铅笔用了$0.5(10 - x)$元.依题意,得方程$0.3x + 0.5(10 - x) = $$3.8$.
这里$x ＞ 0且x$为整数,列表计算：
| $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| $0.3x + 0.5(10 - x)$ | 4.8 | 4.6 | 4.4 | 4.2 | 4 | 3.8 | 3.6 | 3.4 | 3.2 |

从表中看出$x = $$6$是原方程的解.
反思：估算问题一般针对未知数的值是正整数的取值问题,如购买的彩电台数、铅笔支数等.

答案： $(10 - x)$；$3.8$；$6$；正整数