《2025年长江全能学案同步练习册七年级数学上册人教版》

例 1 某中学的学生自己动手整修操场. 如果让八年级学生单独工作,需要 6 小时完成;如果让九年级学生单独工作,需要 4 小时完成.现在由八、九年级学生一起工作,需要多少小时能完成任务?
【思路导析】设工作总量为 1,则八年级学生完成工作的工作量+九年级学生完成工作的工作量= 1.

答案： 设由八、九年级学生一起工作，需要 $x$ 小时能完成任务。
根据题意，八年级学生1小时的工作量为 $\frac{1}{6}$（工作效率），九年级学生1小时的工作量为 $\frac{1}{4}$（工作效率）。
当八、九年级学生一起工作时，他们1小时的工作量为 $\frac{1}{6} + \frac{1}{4}$。
因此，他们一起工作 $x$ 小时的工作量为 $(\frac{1}{6} + \frac{1}{4})x$。
根据工作总量为1，我们得到方程：
$(\frac{1}{6} + \frac{1}{4})x = 1$
解这个方程，首先找到公共分母，即12，然后合并同类项：
$\frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{5}{12}$
$\frac{5}{12}x = 1$
$x = \frac{12}{5}$
$x = 2.4$
答：由八、九年级学生一起工作，需要 $2.4$ 小时能完成任务。

例 2 一个水池有两个注水管,两管同时注水,10 小时可以注满水池;甲管单独开 15 小时可以注满水池.现两管同时注水 7 小时后关掉甲管,乙管单独注水还需多少小时才能注满水池?
【思路导析】设水池蓄水量为“1”,乙管还需 $ x $ 小时才能注满水池.分析见下表:
| | 甲管 | 乙管 | 工作总量 |
| 工作效率 | $ \frac{1}{15} $ | $ \frac{1}{10}-\frac{1}{15} $ | |
| 工作时间 | 7 | $ 7 + x $ | |
| 工作量 | $ \frac{7}{15} $ | $ (\frac{1}{10}-\frac{1}{15})(7 + x) $ | 1 |

【规范解答】设乙管还需$x$小时才能注满水池。
依题意，得$\frac{7}{15} + (\frac{1}{10} - \frac{1}{15})(7 + x) = 1$，
去括号得：$\frac{7}{15}+\frac{7 + x}{10}-\frac{7 + x}{15}= 1$，
方程两边同时乘以30得：
$14 + 3(7 + x) - 2(7 + x) = 30$，
去括号得：
$14 + 21 + 3x - 14 - 2x = 30$，
移项、合并同类项得：
$x = 9$。
答：乙管单独注水还需$9$小时才能注满水池。

答案： 设乙管还需$x$小时才能注满水池。
依题意，得$\frac{7}{15} + (\frac{1}{10} - \frac{1}{15})(7 + x) = 1$，
去括号得：$\frac{7}{15}+\frac{7 + x}{10}-\frac{7 + x}{15}= 1$，
方程两边同时乘以30得：
$14 + 3(7 + x) - 2(7 + x) = 30$，
去括号得：
$14 + 21 + 3x - 14 - 2x = 30$，
移项、合并同类项得：
$x = 9$。
答：乙管单独注水还需$9$小时才能注满水池。

为建设市民河堤漫步休闲通道,某新区现有一段长为 180 米的河堤整治任务由 $ A $, $ B $ 两个工程队先后接力完成. $ A $ 工程队每天整治 12 米,$ B $ 工程队每天整治 8 米,共用时 20 天.
(1)根据题意,甲、乙两名同学分别列方程如下:
甲:$ 12x + 8(20 - x)= 180 $;
乙:$ \frac{x}{12}+\frac{180 - x}{8}= 20 $.
请你分别指出甲、乙两名同学所列方程中的代数式表示的意义.
甲:$ x $ 表示$A$工程队整治河堤的天数,
$ 20 - x $ 表示$B$工程队整治河堤的天数,
乙:$ x $ 表示$A$工程队整治河堤的长度,
$ 180 - x $ 表示$B$工程队整治河堤的长度.
(2)请你从甲、乙两位同学的解答思路中,选择一种你喜欢的思路,求 $ A $, $ B $ 两工程队分别整治河堤的长度.(写出完整的解答过程)

答案：
(1)
甲：$x$表示$A$工程队整治河堤的天数；
$20 - x$表示$B$工程队整治河堤的天数；
乙：$x$表示$A$工程队整治河堤的长度；
$180 - x$表示$B$工程队整治河堤的长度。
(2)
选择甲同学的思路：
设$A$工程队整治河堤的天数为$x$天，则$B$工程队整治河堤的天数为$(20 - x)$天。
根据题意，得$12x + 8(20 - x)=180$，
去括号得$12x + 160 - 8x = 180$，
移项得$12x - 8x = 180 - 160$，
合并同类项得$4x = 20$，
系数化为$1$得$x = 5$。
$A$工程队整治河堤的长度为$12x = 12×5 = 60$（米）；
$B$工程队整治河堤的长度为$8(20 - x)=8×(20 - 5)=120$（米）。
答：$A$工程队整治河堤的长度为$60$米，$B$工程队整治河堤的长度为$120$米。