《2025年长江全能学案同步练习册七年级数学上册人教版》

10. 如图,小明将一个正方形纸片剪去一个宽为5 cm的长条后,再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽6 cm的长条,如果两次剪下的长条面积正好相等,那么每个长条的面积为多少？

答案： 设正方形的边长为$x$ cm。
第一次剪下长条的面积为$5x$ cm²。
第一次剪后剩下长方形的宽为$(x - 5)$ cm，第二次剪下长条的面积为$6(x - 5)$ cm²。
由题意得：$5x = 6(x - 5)$
解得：$5x = 6x - 30$
$6x - 5x = 30$
$x = 30$
每个长条面积为$5x = 5×30 = 150$ cm²。
答：每个长条的面积为$150$ cm²。

11. 一快递员需要在规定时间内开车将快递送到某地,若快递员开车每分钟行驶1.2 km,就早到10分钟；若快递员开车每分钟行驶0.8 km,就要迟到5分钟.试求出规定时间.

答案： 设规定时间为 $x$ 分钟。
当快递员每分钟行驶 $1.2$km 时，早到 $10$ 分钟，即实际行驶时间为 $x - 10$ 分钟，所以总路程为 $1.2(x - 10)$。
当快递员每分钟行驶 $0.8$km 时，迟到 $5$ 分钟，即实际行驶时间为 $x + 5$ 分钟，所以总路程为 $0.8(x + 5)$。
由于两种情况下的总路程是相同的，建立方程：
$1.2(x - 10) = 0.8(x + 5)$，
$1.2x - 12 = 0.8x + 4$，
$1.2x - 0.8x = 12 + 4$，
$0.4x = 16$，
$x = 40$。
答：规定时间为$40$分钟。

12. $a$,$b$为有理数,且$a + b$,$a - b$在数轴上如图所示.

①判断：$a$______0,$b$______0,$a$______$b$；(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)
②若$x = |2a + b| - 3|b| - |2a - 3| + 2|b - 1|$,且$x为方程(2x^2 + 3x - \frac{1}{2}) - 2(x^2 - mx - \frac{1}{4}) = -5$的解,求$m$的值.
①判断：$a$＜0,$b$＜0,$a$＞$b$；(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)
②若$x = |2a + b| - 3|b| - |2a - 3| + 2|b - 1|$,且$x为方程(2x^2 + 3x - \frac{1}{2}) - 2(x^2 - mx - \frac{1}{4}) = -5$的解,求$m$的值.
$m = 1$

答案： $＜$，$＜$，$＞$
②
化简$x$：
由$a ＜ 0$，$b ＜ 0$，且$2a + b ＜ 0$（$a + b ＜ -3$，$a ＜ 0$），$2a - 3 ＜ 0$（$a ＜ 0$），$b - 1 ＜ 0$（$b ＜ 0$），得：
$\begin{aligned}x&=|2a + b| - 3|b| - |2a - 3| + 2|b - 1|\\&=-(2a + b) - 3(-b) - [-(2a - 3)] + 2(1 - b)\\&=-2a - b + 3b + 2a - 3 + 2 - 2b\\&=(-2a + 2a) + (-b + 3b - 2b) + (-3 + 2)\\&=-1\end{aligned}$
求$m$：
方程$(2x^2 + 3x - \frac{1}{2}) - 2(x^2 - mx - \frac{1}{4}) = -5$化简为：
$(3 + 2m)x = -5$
将$x = -1$代入得：
$(3 + 2m)(-1) = -5 \implies 3 + 2m = 5 \implies m = 1$
① $＜$，$＜$，$＞$
② $m = 1$

13. 如图,某校的饮水机有温水、开水两个按钮,温水和开水共用一个出水口、温水的温度为30℃,流速为20 mL/s；开水的温度为100℃,流速为15 mL/s.某学生先接了一会儿温水,又接了一会儿开水,得到一杯280 mL温度为60℃的水(不计热损失),求该学生分别接温水和开水的时间.(提示：开水和温水混合时会发生热传递,开水放出的热量等于温水吸收的热量,这一过程可以转化为开水的体积×开水降低的温度= 温水的体积×温水升高的温度.)

答案： 设接温水的时间为$x$秒，接开水的时间为$y$秒。
1. 根据总体积列方程：
温水体积为$20x\ mL$，开水体积为$15y\ mL$，总容积$280\ mL$，则：
$20x + 15y = 280$。
2. 根据热量平衡列方程：
开水放出热量等于温水吸收热量，即：
开水体积$×$（开水温度 - 混合后温度）= 温水体积$×$（混合后温度 - 温水温度）。
代入数据：$15y(100 - 60) = 20x(60 - 30)$，
化简得：$15y × 40 = 20x × 30$，
$600y = 600x$，即$y = x$。
3. 求解方程组：
将$y = x$代入$20x + 15y = 280$，得：
$20x + 15x = 280$，
$35x = 280$，解得$x = 8$，则$y = x = 8$。
答：接温水的时间为$8$秒，接开水的时间为$8$秒。