《2025年长江全能学案同步练习册七年级数学上册人教版》

例1 (1)若 $ x = 1 $，则 $ 3x - 2 = $ 。
(2)若 $ a $，$ b $ 互为相反数，$ c $ 的倒数是 $ 4 $，则 $ a - 4c + b $ 的值为 。
【思路导析】将式子 $ a - 4c + b $ 化为 $ a + b - 4c $ 的形式，然后整体代入求值。

答案： 1
-1

例2 (1)一位作家先用 $ m $ 天写完了一部小说的上部，又用 $ n $ 天写完了下部，这部小说上下部共 $ 120 $ 万字。①用代数式表示这位作家平均每天的写作量为多少万字；②当 $ m = 550 $ 天，$ n = 450 $ 天时，这位作家平均每天的写作量是多少？
(2)在一块长为 $ a $ m、宽为 $ 102 $ m 的草坪上修筑宽为 $ 2 $ m 的小路(如图 3.2 - 1)。①用代数式表示剩余的草坪的面积为多少平方米？ ②当 $ a = 150 $ 时，剩余的草坪的面积为多少？
【思路导析】第(2)题中可以把路移到右边和上面.路的宽度是 $ 2m $，则剩余的草坪可以看成长是 $ (a - 2)m $、宽是 $ (102 - 2)m $ 的长方形。

答案： 例2.
(2)解：①(a-2)(102-2)=100(a-2)m^{2}
②100×(150-2)=14800m^{2}

例3 某房间窗户如图 3.2 - 2 所示(图中长度单位：$ cm $)，其中上方的装饰物由两个四分之一圆和一个半圆组成(它们的半径相同)。计算：
(1)装饰物所占的面积是多少？
(2)窗户中能射进阳光的部分的面积是多少？
(3)若 $ a $，$ b $ 满足 $ |a - 150| + (b - 100)^2 = 0 $，求窗户的外框的总长。
【思路导析】(1)根据装饰物由两个四分之一圆和一个半圆组成(它们的半径相同)，把装饰物拼在一起构成一个圆求解即可；
(2)用窗户的面积减去装饰物的面积即可；
(3)先根据非负数的性质求出 $ a $ 和 $ b $ 的值，然后根据图形求解。
【规范解答】(1)由图可得该圆的半径为 $ \frac{1}{4}b $，装饰物所占的面积是 $ (\frac{1}{4}b)^2\pi = \frac{1}{16}\pi b^2 $。
(2)窗户中能射进阳光的部分的面积就是矩形面积减去装饰物所占的面积，故窗户中能射进阳光的部分的面积是 $ (ab - \frac{1}{16}\pi b^2)cm^2 $。
(3)窗户的外框的总长为 $ (2a + 2b)cm $。由 $ |a - 150| + (b - 100)^2 = 0 $，得 $ a = 150 $，$ b = 100 $。
$ \therefore 2a + 2b = 2×150 + 2×100 = 500 $。
故窗户的外框的总长为 $ 500cm $。

答案：
(1) 装饰物由两个四分之一圆和一个半圆组成，半径相同，拼成一个整圆，半径为$\frac{b}{4}$，面积为$\pi\left(\frac{b}{4}\right)^2=\frac{1}{16}\pi b^2\ cm^2$。
(2) 窗户面积为矩形面积$ab$，射进阳光部分面积为$ab-\frac{1}{16}\pi b^2\ cm^2$。
(3) 由$|a - 150| + (b - 100)^2 = 0$，得$a=150$，$b=100$。外框总长为$2a+2b=2×150+2×100=500\ cm$。