《2025年长江全能学案同步练习册七年级数学上册人教版》

10. (1) 根据已知条件填空：
① 已知 $ (-1.2)^2 = 1.44 $,那么 $ (-12)^2 = $144,$ (-0.12)^2 = $0.0144；
② 已知 $ (-3)^3 = -27 $,那么 $ (-30)^3 = $-27000,$ (-0.3)^3 = $-0.027.
(2) 观察上述计算结果我们可以看出：
① 底数的小数点每向左(右)移动一位,它的平方的小数点向左(右)移动两位；
② 底数的小数点每向左(右)移动一位,它的立方的小数点向左(右)移动三位.

答案：
(1)①$144$，$0.0144$；②$-27000$，$-0.027$；
(2)①两；②三。

11. 有一张厚度为 $ 0.1mm $ 的纸,将它对折一次后,厚度为 $ 2 × 0.1mm $.
(1) 对折 2 次后,厚度为多少毫米？
(2) 对折 10 次后,厚度为多少毫米？

答案：
(1) 对折2次后，厚度为$2^2×0.1=4×0.1=0.4$毫米。
(2) 对折10次后，厚度为$2^{10}×0.1=1024×0.1=102.4$毫米。

12. 给出下列两组算式：
$ (4 × 5)^2 $ 与 $ 4^2 × 5^2 $；
$ [(-\frac{1}{3}) × 9]^3 $ 与 $ (-\frac{1}{3})^3 × 9^3 $.
(1) 每组的结果相等吗？每组结果都相等
(2) 想一想：当 $ n $ 是正整数时,$ (a \cdot b)^n = $$a^{n}\cdot b^{n}$；
(3) 用你发现的规律计算：$ (-0.125)^{20} × 8^{20} $.$(-0.125)^{20}×8^{20}=(-0.125×8)^{20}=(-1)^{20}=1$

答案：
(1)
对于第一组：
$(4×5)^{2}=20^{2} = 400$，$4^{2}×5^{2}=16×25 = 400$，结果相等。
对于第二组：
$[(-\frac{1}{3})×9]^{3}=(-3)^{3}=-27$，$(-\frac{1}{3})^{3}×9^{3}=(-\frac{1}{27})×729 = - 27$，结果相等。
(2)
当$n$是正整数时，$(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}$。
(3)
$(-0.125)^{20}×8^{20}=(-0.125×8)^{20}=(-1)^{20}=1$。
综上，答案依次为：
(1) 每组结果都相等；
(2) $a^{n}\cdot b^{n}$；
(3) $1$。

13. 阅读材料：
求 $ 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + … + 2^{245} $ 的值.
解：设 $ S = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + … + 2^{245} $,①
将等式两边同乘 2,得
$ 2S = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + … + 2^{245} + 2^{246} $. ②
② - ①,得 $ S = 2^{246} - 1 $.
所以 $ 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + … + 2^{245} = 2^{246} - 1 $.
请你仿照上述方法计算：
(1)$ 1 + 5 + 5^2 + 5^3 + … + 5^{10} $；
(2)$ \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + … + \frac{1}{3^{19}} $.

答案：
(1)
设$S = 1 + 5 + 5^2 + 5^3 + \cdots + 5^{10}$，①
将等式两边同乘$5$，得
$5S = 5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 + \cdots + 5^{10} + 5^{11}$，②
② - ①，得
$4S = 5^{11} - 1$，
所以$S = \frac{5^{11} - 1}{4}$，
即$1 + 5 + 5^2 + 5^3 + \cdots + 5^{10} = \frac{5^{11} - 1}{4}$。
(2)
设$S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \cdots + \frac{1}{3^{19}}$，①
将等式两边同乘$\frac{1}{3}$，得
$\frac{1}{3}S = \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \frac{1}{3^4} + \cdots + \frac{1}{3^{19}} + \frac{1}{3^{20}}$，②
① - ②，得
$\frac{2}{3}S = \frac{1}{3} - \frac{1}{3^{20}}$，
所以$S = \frac{1 - \frac{1}{3^{19}}}{2} = \frac{3^{19} - 1}{2 × 3^{19}}$，
即$\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \cdots + \frac{1}{3^{19}} = \frac{3^{19} - 1}{2 × 3^{19}}$（或$\frac{1}{2} - \frac{1}{2 × 3^{19}}$）。