《2025年长江全能学案同步练习册七年级数学上册人教版》

6. 用 A 型机器和 B 型机器生产同样的产品,5 台 A 型机器生产一天的产品装满 8 箱后还剩 4 个;7 台 B 型机器生产一天的产品装满 11 箱后还剩 1 个,每台 A 型机器比 B 型机器一天多生产 1 个产品,求每箱有多少个产品?

答案： 设每箱有$x$个产品。
根据题意，5台A型机器一天生产的产品数量为$(8x + 4)$个，所以每台A型机器一天生产$\frac{8x + 4}{5}$个产品。
同样，7台B型机器一天生产的产品数量为$(11x + 1)$个，所以每台B型机器一天生产$\frac{11x + 1}{7}$个产品。
根据题意，每台A型机器比B型机器一天多生产1个产品，所以我们可以得到方程：
$\frac{8x + 4}{5} - \frac{11x + 1}{7} = 1$
解这个方程，我们得到：
$7(8x + 4) - 5(11x + 1) = 35$
$56x + 28 - 55x - 5 = 35$
$x = 12$
所以，每箱有12个产品。

7. 某地修建一条长为 400 m 的公路,由甲、乙两个工程队负责施工.甲工程队独立施工 2 天后乙工程队加人,两工程队联合施工 4 天后,还剩 70 m.已知甲工程队每天比乙工程队多施工 5 m,求甲、乙两工程队每天各施工多少米.

答案： 设乙工程队每天施工 $x$ 米，则甲工程队每天施工 $(x + 5)$ 米。
根据题意，甲工程队独立施工2天，再与乙工程队联合施工4天，完成了 $400 - 70 = 330(m)$。
因此，可以列出方程：
$2(x + 5) + 4(x + 5 + x) = 330$，
展开方程得：
$2x + 10 + 8x + 20 = 330$，
合并同类项得：
$10x + 30 = 330$，
解得：
$10x = 300$，
$x = 30$。
将 $x = 30$ 代入 $x + 5$ 得：
$x + 5 = 35$。
答：甲工程队每天施工 $35$ 米，乙工程队每天施工 $30$ 米。

8. 甲组的 4 名工人三月份的工作量比此月人均定额的 4 倍多 20 件,乙组的 5 名工人三月份的工作量比此月的人均定额的 6 倍少 20 件,如果甲组工人实际完成的此月人均工作量比乙组的多 2 件,求此月人均定额是多少件.

答案： 设此月人均定额是$x$件。
根据题意，甲组4名工人三月份总工作量为$(4x + 20)$件，那么甲组人均工作量为$\frac{4x + 20}{4}$件；
乙组5名工人三月份总工作量为$(6x - 20)$件，那么乙组人均工作量为$\frac{6x - 20}{5}$件。
由甲组工人实际完成的此月人均工作量比乙组的多2件，可列方程：
$\frac{4x + 20}{4}-\frac{6x - 20}{5}=2$
方程两边同时乘以20去分母得：
$5(4x + 20)-4(6x - 20)=40$
去括号得：
$20x+100 - 24x + 80 = 40$
移项得：
$20x-24x=40 - 100 - 80$
合并同类项得：
$-4x=-140$
系数化为1得：
$x = 35$
答：此月人均定额是35件。

9. 甲、乙两人想共同承包一项工程.甲单独做 30 天完成,乙单独做 20 天完成.合同规定 15 天完成,否则每超过 1 天罚款 1000 元.甲、乙两人商量后签订了该合同.
(1)在不罚款的情况下,两人能否完成此项工程? 为什么?
(2)现两人合作完成了该项工程的 75%,因别处有急事,必须调走一人.若调走甲,能否在不罚款的情况下完成此项工程? 若调走乙呢? 为什么?

答案：
(1)设两人合作完成此项工程需要$x$天。
甲的工作效率为$\frac{1}{30}$，乙的工作效率为$\frac{1}{20}$，合作效率为$\frac{1}{30}+\frac{1}{20}=\frac{1}{12}$。
依题意列方程：$\frac{1}{12}x = 1$，解得$x = 12$。
因为$12 ＜ 15$，所以两人能在不罚款的情况下完成此项工程。
(2)设两人合作完成75%需$y$天，合作效率为$\frac{1}{12}$，则$\frac{1}{12}y = 0.75$，解得$y = 9$。
剩余时间为$15 - 9 = 6$天，剩余工作量为$1 - 0.75 = 0.25$。
①调走甲，留下乙：设乙单独完成剩余工作量需$z$天，乙效率为$\frac{1}{20}$，则$\frac{1}{20}z = 0.25$，解得$z = 5$。
因为$5 ＜ 6$，所以能在不罚款的情况下完成。
②调走乙，留下甲：设甲单独完成剩余工作量需$w$天，甲效率为$\frac{1}{30}$，则$\frac{1}{30}w = 0.25$，解得$w = 7.5$。
因为$7.5 ＞ 6$，所以不能在不罚款的情况下完成。
综上，调走甲能完成，调走乙不能完成。