《2025年长江全能学案同步练习册七年级数学上册人教版》

例1 计算$-2x^{2}y,\frac{1}{2}x^{2}y,-3x^{2}y$的和.

【思路导析】把每个单项式用括号括起来,再用“$+$”号连接,再去括号,合并同类项.

答案： $( - 2x^{2}y) + (\frac{1}{2}x^{2}y) + ( - 3x^{2}y)$
$= - 2x^{2}y + \frac{1}{2}x^{2}y - 3x^{2}y$
$=( - 2 + \frac{1}{2} - 3)x^{2}y$
$=( - \frac{4}{2} + \frac{1}{2} - \frac{6}{2})x^{2}y$
$= - \frac{9}{2}x^{2}y$

例2 求$2a与-a^{2}+2a - 1$的差.

【思路导析】先列式$2a - (-a^{2}+2a - 1)$,再去括号,合并同类项.

答案： $2a - (-a^{2} + 2a - 1)$
$= 2a + a^{2} - 2a + 1$
$= a^{2} + 1$

例3 求$2(a^{2}-3)与-2(a - 1)$的和.
【思路导析】先列式$2(a^{2}-3)+[-2(a - 1)]$,再化简.

答案： 解：$2(a^{2}-3)+[-2(a - 1)]$
$=2a^{2}-6 - 2a + 2$
$=2a^{2}-2a - 4$

例4 已知含字母$a,b的整式是4[a^{2}+2(b^{2}+ab - 2)]-4(a^{2}+2b^{2})-2(ab - a - 1)$.
(1)化简整式；
(2)小刚取一对互为倒数的$a,b$的值代入化简后的整式中,恰好计算得到整式的值等于0,那么小刚所取的字母$b$的值等于多少？
(3)聪明的小敏由(1)中化简的结果发现,只要字母$b$取一个固定的数,无论字母$a$取何数,整式的值恒为一个不变的数,你知道小敏所说的字母$b$的值是多少吗？
【思路导析】先把原式化简,只要结果为常数,就说明无论字母取何值,整式的值都不变.
【规范解答】(1)$4[a^{2}+2(b^{2}+ab - 2)]-4(a^{2}+2b^{2})-2(ab - a - 1)= 4(a^{2}+2b^{2}+2ab - 4)-4a^{2}-8b^{2}-2ab + 2a + 2= 4a^{2}+8b^{2}+8ab - 16 - 4a^{2}-8b^{2}-2ab + 2a + 2= 6ab + 2a - 14$.
(2)由题意可知$ab = 1$,$\therefore 6ab + 2a - 14 = 6 + 2a - 14 = 0$,$\therefore a = 4$,$b = \frac{1}{4}$.
(3)$\because 6ab + 2a - 14= (6b + 2)a - 14$恒为一个常数,$\therefore 6b + 2 = 0$,$\therefore b = -\frac{1}{3}$.

答案：
(1) $4[a^{2}+2(b^{2}+ab - 2)]-4(a^{2}+2b^{2})-2(ab - a - 1)$
$=4(a^{2}+2b^{2}+2ab - 4)-4a^{2}-8b^{2}-2ab + 2a + 2$
$=4a^{2}+8b^{2}+8ab - 16 - 4a^{2}-8b^{2}-2ab + 2a + 2$
$=6ab + 2a - 14$
(2) 因为$a$，$b$互为倒数，所以$ab = 1$。
将$ab = 1$代入$6ab + 2a - 14 = 0$，得$6×1 + 2a - 14 = 0$，$2a = 8$，$a = 4$。
所以$b = \frac{1}{a} = \frac{1}{4}$。
(3) 因为$6ab + 2a - 14 = (6b + 2)a - 14$的值恒为常数，所以$6b + 2 = 0$，解得$b = -\frac{1}{3}$。

下面是小芳做的一道多项式的加减运算题,但她不小心把一滴墨水滴在了上面：$(-x^{2}+3xy-\frac{1}{2}y^{2})-(-\frac{1}{2}x^{2}+4xy-\frac{3}{2}y^{2})= -\frac{1}{2}x^{2}+y^{2}$ 。阴影部分即为被墨迹弄污的部分,那么被墨迹遮住的一项是什么？

答案： 设被墨迹遮住的一项为$A$。
根据题意，有：
$(-x^{2} + 3xy - \frac{1}{2}y^{2}) - (-\frac{1}{2}x^{2} + 4xy - \frac{3}{2}y^{2}) = -\frac{1}{2}x^{2} + A + y^{2}$，
去括号：
$-x^{2} + 3xy - \frac{1}{2}y^{2} + \frac{1}{2}x^{2} - 4xy + \frac{3}{2}y^{2} = -\frac{1}{2}x^{2} + A + y^{2}$，
合并同类项：
$-\frac{1}{2}x^{2} - xy + y^{2} = -\frac{1}{2}x^{2} + A + y^{2}$，
对比等式两边，得出：
$A = -xy$。
故答案为：$-xy$。